第2课时 对数函数的图象与性质的应用 [学习目标] 1.进一步理解对数函数的图象和性质.2.能运用对数函数的图象与性质解决和对数函数相关的综合性问题. 导语 通过本节课的学习,进一步理解对数函数的图象和性质,并能利用对数函数的图象和性质解决比较大小、解不等式、判断单调性、求最值等综合问题. 一、对数函数图象的辨识 例1 已知y=lg x的图象如图所示,由图象作出y=lg|x|和y=|lg x|的图象,并解答以下问题: (1)函数y=lg|x| ( ) A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 答案 B 解析 作出y=lg|x|的图象如图(1)所示. 从图可以看出,选项B正确. (2)函数f(x)=|lg x|,若0
f(b). 证明:ab<1. 证明 作出y=|lg x|的图象如图(2)所示,由图可以看出,若0f(b),此时有ab<1成立; 若0f(b),所以-lg a>lg b, 即lg a+lg b<0, lg(ab)<0,所以ab<1; 若1f(b)相矛盾. 综上可知,当0f(b)时, ab<1. 反思感悟 (1)对有关对数函数的图象问题,一般是从基本初等函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变化得到所要求的函数图象.特别地,当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (2)常见的函数图象的变换技巧 ①平移符合“左加右减,上加下减”的规律. ②y=f(x)y=f(|x|). ③y=f(x)y=|f(x)|. ④y=f(x)y=f(-x). ⑤y=f(x)y=-f(x). ⑥y=f(x)y=-f(-x). 跟踪训练1 (1)已知a>0且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是 ( ) 答案 B 解析 若01,则函数y=ax为增函数且过点(0,1),函数y=loga(-x)为减函数且过点(-1,0).故只有选项B中的图象符合. (2)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=b+logax的图象大致是 ( ) 答案 D 解析 由函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象可知00且a≠1); ③log30.2,log40.2; ④log3π,logπ3. 解 ①因为函数y=ln x在(0,+∞)上是增函数,且0.3<2,所以ln 0.31时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数, 又3.1<5.2,所以loga3.1loga5.2. 综上所述,当a>1时,loga3.1loga5.2. ③因为0>log0.23>log0.24,所以<, 即log30.23, 所以log3π>log33=1. 同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3. (2)求lox>lo(4-x)关于x的解集. 解 由题意得 解得0logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解. 跟踪训练2 (1)已知a=,b=log2,c=lo, ... ... 