4.3指数函数与对数函数的关系 [学习目标] 1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们的图象间的对称关系.2.会求简单函数的反函数.3.利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题. 导语 在研究函数问题的过程中,我们经常遇到同底数的指数函数和对数函数,例如函数y=2x与y=log2x,它们究竟有着怎样的关系呢 今天我们从它们的图象、性质等方面一起去探讨这一类函数. 一、反函数的概念 问题1 在同一平面直角坐标系内,画出函数y=2x与y=log2x的图象,观察两函数图象的关系. 提示 知识梳理 反函数的概念 (1)一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有唯一的x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x)存在反函数. (2)反函数的记法:函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x). 注意点: (1)同底的指数函数与对数函数互为反函数. (2)互为反函数的两个函数图象关于y=x对称. 例1 判定下列函数是否存在反函数. (1) x 1 2 3 4 5 f(x) 0 0 1 3 5 (2)函数y=f(x)的图象是如图所示的三点A,B,C. 解 (1)∵f(x)=0时,x=1或x=2,即对应的x不唯一,因此f(x)的反函数不存在. (2)由图可知函数y=f(x)的定义域为{-1,1,2},值域为{-1,1,-2},且对值域中的任一个值,在定义域中都有唯一的x值与之对应,∴y=f(x)存在反函数. 反思感悟 判定存在反函数的方法 (1)用定义:若函数y=f(x)值域中任意一个y的值,在定义域中有唯一的x与之对应,则此函数的反函数存在,否则,反函数不存在. (2)用单调性:若函数y=f(x)在定义域上单调,则它的反函数存在. 跟踪训练1 判定下列函数的反函数是否存在. (1) x 1 2 3 4 5 g(x) -1 0 1 -2 5 (2)函数y=f(x)的图象是如图所示的三点A,B,C. 解 (1)因为对g(x)的值域{-1,0,1,-2,5}中任意一个值,都只有唯一的x与之对应,因此g(x)的反函数g-1(x)存在. (2)由y=f(x)的图象知,当y=1时,与之对应的x=-1或x=3,即与y=1对应的x的值不唯一,所以此函数的反函数不存在. 二、求反函数 问题2 函数y=2x+1,你能用y表示x吗 你能把函数解析式y=中的x和y互换吗 提示 x+1=log2y,x=-1+log2y;x=. 例2 求下列函数的反函数: (1)f(x)=log2x; (2)f(x)=; (3)f(x)=5x+1. 解 (1)令y=log2x,得x=2y且y∈R, ∴f-1(x)=2x,x∈R. (2)令y=,得x=loy且y>0, ∴f-1(x)=lox,x>0. (3)令y=5x+1,得x=且y∈R, ∴f-1(x)=,x∈R. 反思感悟 (1)求反函数时,要先确定原函数的值域. (2)求反函数解析式的两种方法: ①可以通过对调y=f(x)中的x与y,然后从x=f(y)中求出y,得到反函数y=f-1(x). ②从y=f(x)反解得到x=f-1(y),然后把x=f-1(y)中的x,y对调得到y=f-1(x). (3)最后要注明反函数的定义域. 跟踪训练2 求下列函数的反函数: (1)f(x)=+1(x≥0); (2)f(x)=(x≠1). 解 (1)令y=+1,x≥0, ∴y≥1且x=(y-1)2. ∴f(x)=+1(x≥0)的反函数为f-1(x)=(x-1)2, x∈[1,+∞). (2)令y==, ∴y=2+. ∴y≠2且x=. ∴f(x)=(x≠1)的反函数为f-1(x)=,x∈(-∞,2)∪(2,+∞). 三、互为反函数的图象与性质的应用 问题3 函数y=2x的定义域和值域与y=log2x的定义域和值域关系如何 提示 y=2x的定义域与y=log2x的值域相同,y=2x的值域与y=log2x的定义域相同. 知识梳理 1.反函数的性质 (1)y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与y=f-1(x)的定义域相同,y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称. (2)如果y=f(x)是单调函数,那么它的反函数y=f-1(x)一定存在,此时,如果y=f(x)是增函数,则y=f-1(x)也是增函数;如果y=f(x)是减函数,则y=f-1(x)也是减函数. 2.指数函数与对数函数的关系 (1)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数. (2)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称. 注意点: (1)原函数与反函数定义域与值域的关系. (2)互为反函数 ... ...
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