5.3.1 样本空间与事件 [学习目标] 1.掌握样本点和样本空间的概念.2.理解基本事件、随机事件、必然事件.3.掌握随机事件发生的概率. 导语 (1)抛掷一枚硬币,观察正面、反面出现的情况; (2)抛掷一枚骰子,观察出现点数的情况; (3)买一注福利彩票,观察中奖、不中奖的情况. 这类现象的共性是:就一次观测而言,出现哪种结果具有偶然性,但在大量重复观测下,各个结果出现的频率却具有稳定性,这类现象叫随机现象.概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.概率是对随机事件发生可能性大小的度量. 一、样本点和样本空间 问题1 我们把在相同条件下对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验,你能总结一下随机试验的特点吗 提示 (1)试验在相同条件下重复进行; (2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个; (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果. 问题2 怎样从集合的角度来刻画样本点和样本空间 提示 样本点可看作元素,样本空间可看作集合.列举样本点可用列举法,有限样本空间就是有限个样本点组成的集合. 知识梳理 1.必然现象与随机现象 (1)一定条件下,发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象(或偶然现象). (2)发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象(或确定性现象). 2.样本点和样本空间 (1)随机试验 把在相同条件下,对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验(简称为试验). (2)样本点和样本空间 把随机试验中每一种可能出现的结果,都称为样本点,把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示).例如:如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则Ω={ω1,ω2,…,ωn}为样本空间. 注意点: 解题时注意样本点和样本空间. 例1 连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面. (1)写出这个试验的样本空间; (2)求这个试验的样本点的总数. 解 (1)用(x,y,z)表示结果,其中x,y,z分别表示第一枚、第二枚、第三枚硬币出现的结果.试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}. (2)样本点的总数是8. 反思感悟 写样本空间的关键是找样本点,具体有三种方法 (1)列举法:适用于样本点个数不是很多,可以把样本点一一列举出来的情况,但列举时必须按一定的顺序,要做到不重不漏. (2)列表法:适用于试验中包含两个或两个以上的元素,且样本点个数相对较多的问题,通常把样本归纳为“有序实数对”,也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏. (3)树形图法:适用较复杂问题中的样本点的探求,一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树形图进行列举. 跟踪训练1 写出下列试验的样本空间: (1)同时抛掷三枚质地均匀的骰子,记录三枚骰子出现的点数之和; (2)从含有两件正品a1,a2和两件次品b1,b2的四件产品中任取两件,观察取出产品的结果; (3)已知集合M={-2,3},N={-4,5,6},从两个集合中各取一个元素构成点的坐标. 解 (1)该试验的样本空间Ω1={3,4,5,…,18}. (2)该试验所有可能的结果如图所示, 因此,该试验的样本空间Ω2={a1a2,a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,b1b2}. (3)样本空间Ω3={(-2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),(3,6),(-4,-2),(5,-2),(6,-2),(-4,3),(5,3),(6,3)}. 二、随机事件 有一个转盘游戏,转盘被平均分成10份(如图所示).转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字. 游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜. 问题3 设事件A=“转出的数字是5”,事件B=“转出的数字是0”,事件C=“转出的数字x满足1≤x≤10,x∈Z”,则事件A,B,C分别是什么事件 提示———转出的数字是5”可能发生,也可能不发生,故事件A是随机事件 ... ...
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