5.3.3 古典概型 [学习目标] 1.了解基本事件的特点,理解古典概型的定义.2.会判断古典概型,会用古典概型的概率公式解决问题. 导语 研究随机现象,最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示. 我们知道,通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计,但这种方法耗时多,而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型,直接计算随机事件的概率呢 一、古典概型的理解 问题1 我们讨论过抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验,它们的共同特征有哪些 提示 样本空间的样本点是有限个,每个样本点发生的可能性相等. 知识梳理 一般地,如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性),而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性),则称这样的随机试验为古典概率模型,简称为古典概型. 注意点: 一般地,古典概型具有以下特征: (1)有限性:样本空间的样本点只有有限个; (2)等可能性:每个基本事件发生的可能性大小都相等. 例1 下列概率模型是古典概型吗 为什么 (1)从区间[1,10]内任意取出一个实数,求取到实数2的概率; (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币,求正面朝上的概率; (3)从1,2,3,…,100这100个整数中任意取出一个整数,求取到偶数的概率. 解 (1)不是古典概型,因为区间[1,10]中有无限多个实数,取出的实数有无限多种结果,与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾. (2)不是古典概型,因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等,与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾. (3)是古典概型,因为在试验中所有可能出现的结果是有限的,而且每个整数被抽到的可能性相等. 反思感悟 古典概型的判断,关键看是否满足两个特征 (1)有限性:在一次试验中,所有可能出现的样本点只有有限个. (2)等可能性:每个样本点出现的可能性相等. 跟踪训练1 下列选项中是古典概型的是 ( ) A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率 B.掷一枚质地不均匀的骰子,求掷出1点的概率 C.在区间[1,4]上任取一数,求这个数大于1.5的概率 D.同时掷两枚质地均匀的骰子,求向上的点数之和是5的概率 答案 D 解析 A,B两项中的样本点的出现不是等可能的;C项中样本点的个数是无限多个;D项中样本点的出现是等可能的,样本点的个数是有限个. 二、古典概型中概率的计算 问题2 在掷骰子的试验中,记A事件为“点数为偶数”,A事件包含哪些样本点 A事件发生的概率是多少 提示 A={2,4,6}. 对于掷骰子试验,出现各个点的可能性相同,记出现1点,2点,…,6点的事件分别为A1,A2,…,A6,记事件“出现偶数点”为B,则P(A1)=P(A2)=…=P(A6),又P(A1)+P(A2)+…+P(A6)=1,所以P(A1)=P(A2)=…=P(A6)=,P(B)==. 知识梳理 一般地,设试验E是古典概型,样本空间含有n个样本点,事件C包含有m个样本点,则定义事件C的概率P(C)=. 注意点: 随机试验中样本点的探求方法 (1)列举法:把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题. (2)树形图法:树形图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法,树形图法便于分析样本点间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段,树形图法适用于较复杂的试验的题目. 例2 袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率: (1)事件A:取出的两球都是白球; (2)事件B:取出的两球一个是白球,另一个是红球. 解 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15个样本点. (1)A={( ... ...
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