5.3.4 频率与概率 [学习目标] 1.了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性.2.正确理解概率的含义,理解频率与概率的区别与联系. 导语 对于样本点等可能的试验,我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率,但在现实中,很多试验的样本点往往不是等可能的或者是否等可能不容易判断.例如,抛掷一枚质地不均匀的骰子,或者抛掷一枚图钉,此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率,我们需要寻找新的求概率的方法. 一、概率概念的理解 问题1 利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验,在重复试验次数为20,100,500时各做5组试验,得到事件A=“一个正面朝上,一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A),结果如表所示: 序号 n=20 n=100 n=500 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.5 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 随着试验次数n的增加,你能观察出频率在哪一个常数附近波动吗 提示 随着试验次数n的增加,频率在常数0.5附近波动.当试验次数较少时,波动幅度较大;当试验次数较大时,波动幅度较小. 知识梳理 1.事实上,大数定律能够保证,在大量重复的试验过程中,一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率,而且,试验的次数越多,频率与概率之间差距很小的可能性越大. 2.概率是一个确定的数,与每次的试验次数无关. 例1 解释下列概率的含义. (1)某厂生产产品的合格率为0.9; (2)一次抽奖活动中,中奖的概率为0.2. 解 (1)“某厂生产产品的合格率为0.9”.说明该厂产品合格的可能性为90%,也可以说100件该厂的产品中大约有90件是合格的. (2)“中奖的概率为0.2”.说明参加抽奖的人有20%的可能中奖,也可以说,若有100人参加抽奖,约有20人中奖. 反思感悟 概率是事件的本质属性,不随试验次数的变化而变化,概率反映了事件发生的可能性的大小,但概率只提供了一种“可能性”,而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例,即使是大概率事件,也不能肯定事件一定发生,只是认为发生的可能性大. 跟踪训练1 (多选)下列说法正确的是 ( ) A.由生物学知道生男生女的概率均为0.5,一对夫妇先后生两个小孩,不一定为一男一女 B.一次摸奖活动中,中奖概率为0.2,则摸5张票,一定有一张中奖 C.10张票中有1张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大 D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1 答案 AD 解析 一对夫妇生两个小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A正确;中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三张、四张或者都不中奖,所以B不正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1,所以C不正确,D正确. 二、用频率估计概率 问题2 在问题1中,频率与概率有什么关系 提示 (1)试验次数n相同,频率fn(A)可能不同,这说明随机事件发生的频率具有随机性. (2)从整体来看,频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时,波动幅度较大;当试验次数较大时,波动幅度较小,但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小,只是波动幅度小的可能性更大. 知识梳理 用频率估计概率 一般地,如果在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,则当n很大时,可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为,此时也有0≤P(A)≤1.这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率. 例2 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示),并做如下规定:顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品. 下表是活动进行中的一组统计数据: 转动转盘 的次数n 100 150 200 500 800 1 000 落在区域 “1”的频数m 13 19 24 62 101 125 落在区域 “1” ... ...
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