6.1.2 向量的加法（教案+学案）高中数学 人教B版 必修第二册

6.1.2　向量的加法 [学习目标]　1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,并能熟练地运用这两个法则做两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律,并能作图解释向量加法运算律的合理性. 导语　 我们知道,实数可以进行运算,如1+2=3,2×3=6,正是有了运算,数字才有了无穷的威力,在运算中,我们还有加法交换律和结合律,乘法交换律、分配律和结合律,那么向量是否也能像数一样进行运算呢 它的运算规则又是怎样的呢 是不是也有相应的运算律 今天我们就从向量的加法开始,来研究向量的运算,探索其运算性质,体会向量运算的作用. 一、向量加法的三角形法则 问题1　某质点从点A经过点B到点C,这个质点的位移如何表示 提示　这个质点两次位移,的结果,与从点A直接到点C的位移的结果相同,因此位移可以看成是位移与合成的,即可以算作是与的和. 问题2　请结合课本例1,探索一下|a+b|与|a|,|b|之间的关系 提示　(1)当向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b方向不同,且|a+b|<|a|+|b|. (2)当a与b同向时,a+b,a,b同向,且|a+b|=|a|+|b|. (3)当a与b反向时,若|a|>|b|,则a+b的方向与a相同,且|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b的方向与b相同,且|a+b|=|b|-|a|. 知识梳理 1.一般地,平面上任意给定两个向量a,b,在该平面内任取一点A,作=a,=b,作出向量,则向量称为向量a与b的和(也称为向量a与b的和向量).向量a与b的和向量记作a+b,因此+=.当a与b不共线时,求它们的和可用图表示,此时a,b,a+b正好能构成一个三角形,所以上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则. 2.对任意向量a,有a+0=0+a=a. 3.向量a,b的模与a+b的模之间满足不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 注意点: 运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接,连首尾”. 例1　(1)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,点F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填一个向量): ①+=　　　　　; ②+=　　　　　. 答案　①　② 解析　如题图,由已知得四边形DFCB为平行四边形,由向量加法的运算法则可知 +=+=, +=+=. (2)设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值与最小值分别为　　　　,　　　　. 答案　20　4 解析　当a,b共线且同向时, |a+b|=|a|+|b|=8+12=20, 当a,b共线且反向时,|a+b|=||a|-|b||=4. 当a,b不共线时,||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,即4<|a+b|<20, 综上可知,4≤|a+b|≤20,所以最大值为20,最小值为4. 反思感悟　向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接,即++……+=. 跟踪训练1　(1)如图所示, ①a+b=　　　　; ②c+d=　　　　; ③a+b+d=　　　　; ④c+d+e=　　　　. 答案　①c　②f　③f　④g (2)若a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则 (　　) A.a∥b,且a与b方向相同 B.a,b是方向相反的向量 C.a=-b D.a,b无论什么关系均可 答案　A 解析　由向量加法的几何意义可知,若a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则有a∥b,且a与b方向相同,A正确;若a,b是方向相反的向量,则|a+b|=||a|-|b||,B错误;若a=-b,则a+b=0,|a+b|=0,C错误;若a,b为任意非零向量,有|a+b|≤|a|+|b|,D错误. 二、向量加法的平行四边形法则 问题3　图(1)表示橡皮条ME在两个力F1和F2的作用下,沿MC方向伸长了EO;图(2)表示橡皮条ME在一个力F的作用下,沿相同方向伸长了相同长度EO.从力学的观点分析,力F与F1,F2之间的关系如何 你能从这个问题出发,给出求解向量之和的另一种方法吗 提示　F=F1+F2;平行四边形法则. 知识梳理 1.平面上任意给定两个不共线的向量a,b,在该平面内任取一点A,作=a,=b,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,作出向量,因为=,所以=+=+,这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则. 2.从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的. 3.向量的加法运算满足交换律 ... ...