2023-2024学年上海市嘉定区育才中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年上海市嘉定区育才中学高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中是偶函数的是( ) A. B. C. D. 2.已知非零向量、、，则“”是“”的条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3.对于函数，下列命题： 函数图象关于直线对称； 函数图象关于点对称； 函数图象可看作是把的图象向左平移个单位而得到； 函数图象可看作是把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍． 纵坐标不变而得到；其中正确的命题的个数是( ) A. B. C. D. 4.有下面两个命题： 若是周期函数，则是周期函数； 若是周期函数，则是周期函数， 则下列说法中正确的是( ) A. 都正确 B. 正确错误 C. 错误正确 D. 都错误 二、填空题：本题共12小题，共54分。 5.函数的最小正周期为_____． 6.已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 ． 7.已知，则 _____． 8.设角的终边经过点，那么_____． 9.化简： _____． 10.已知，，，，则 _____． 11.将化成其中，的形式为_____． 12.函数的值域为_____． 13.已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为_____． 14.记的内角，，的对边分别为，，，已知，若，则 _____． 15.已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是_____． 16.为了研究问题方便，有时候余弦定理会写成：，利这个结构解决如下问题，如果三个正实数、、满足：，，，则_____ 三、解答题：本题共6小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知，，． 求向量，的夹角； 求 18.本小题分 在中，角、、所对的边分别为、、，． 求的值； 若，求的最大值． 19.本小题分 已知函数． 设，函数是奇函数，求的值； 若在区间上恰有三条对称轴，求实数的取值范围． 20.本小题分 已知函数为奇函数． 求的值； 判断函数的单调性，并加以证明； 若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 21.本小题分 如图，某公园有一块扇形人工湖，其中，千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形，喷泉观景区的形状为，且在上，在上，在上，记． 试用分别表示矩形和的面积； 若在的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米万元包含桥的宽度费用，建造喷泉观景区的费用为每平方千米万元，建造荷花池的总费用为万元求当为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用． 22.本小题分 对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”． 判断函数是否为“同比不减函数”？并说明理由； 若函数是“同比不减函数”，求实数的取值范围； 是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.解：，， ，， 解得， 由平面向量数量积的夹角公式得， ，； 因为， 所以， ． 18.解：因为， 所以； 根据余弦定理可知：， ， 又，即， ，当且仅当时，， 故的最大值是． 19.解：， ， 函数是奇函数，即函数为奇函数， ，， ，， 又， 或； ， ，且在区间上恰有三条对称轴， ，解得， 的取值范围为：． 20.解：对任意的，，则函数的定义域为， 则，解得，此时，， 所以，， 所以，当时，函数为奇函数． 解：由知：， 则函数在定义域上单调递增，证明如下： 设任意的，则 因为，则，则， 又，，所以，，即， 所以，函数在定义域上单调递增． 解：因为不等式对任意的恒成立， 所以，对任意的恒成立， 因为函数为上的奇函数，且为增函数，则， 则对任意的恒成立，所以，，解得． 因此，实数的取值范围是． 21.解：由题意 ... ...