5.5.1 第二课时 两角和与差的正弦、余弦公式 高中数学人教A版必修第一册（课件+教案+学案+练习四份打包）

第二课时　两角和与差的正弦、余弦公式 课标要求　1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角差(和)的正弦公式. 2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简. 【引入】 上一节我们学习了两角差的余弦公式，利用C(α－β)可以解决许多三角变换问题，给三角运算带来方便.那么类似cos(30°＋45°)，sin(45°－15°)，sin(60°＋45°)等问题，如何用单角的正弦、余弦进行表示？又如何进一步对其进行求值呢？ 一、两角和与差的正弦、余弦公式 探究1 你能利用两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式吗？ 提示　cos(α＋β)＝cos[α－(－β)] ＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β) ＝cos αcos β－sin αsin β. 探究2 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？ 提示　sin(α＋β)＝cos＝cos＝coscos β＋ sinsin β＝sin αcos β＋cos αsin β. 【知识梳理】 1.两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝cos__αcos__β－sin__αsin__β，其中α，β∈R，记为C(α＋β). 2.两角和与差的正弦公式 简记 公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin__αcos__β＋cos__αsin__β S(α－β) sin(α－β)＝sin__αcos__β－cos__αsin__β 温馨提示　(1)两角和与差的余弦公式的记忆为：“余余正正，符号相异”. (2)两角和与差的正弦公式记忆口诀：“正余余正，符号相同”. 例1 (1)sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是(　　) A.－ B.－ C. D. (2)＝_____. 答案　(1)B　(2) 解析　(1)原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35° ＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－. (2) ＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. 思维升华　1.非特殊角的三角函数求值一般要化为特殊角的和或差的形式，解题时要逆用或变用公式. 2.对于非特殊角的三角函数进行变换时，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形；否则进行局部的变形. 训练1 (1) (链接教材P219例4(2))cos 22°cos 38°－sin 22°sin 38°的值为(　　) A. B. C. D. (2)求值：＝_____. 答案　(1)A　(2)2－ 解析　(1)原式＝cos(22°＋38°)＝cos 60°＝. (2)原式＝ ＝ ＝＝＝＝＝2－. 二、给值求值 例2 (链接教材P218例3)已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值. 解　因为<α<，所以<＋α<π. 因为cos＝－， 所以sin＝. 因为0<β<，所以<＋β<π. 因为sin＝， 所以cos＝－. 因为＋＝π＋α＋β， 所以sin(α＋β)＝－sin[π＋(α＋β)] ＝－sin＝－sincos－cossin ＝－×－×＝. 思维升华　1.解题关键是找出已知式子与待求式子之间的联系及函数名称和结构的差异.一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角. 2.解题时，角的范围不容忽视，往往要借助三角函数值缩小角的范围. 训练2 已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝. (1)求cos的值； (2)求sin β的值. 解　(1)∵α为锐角，sin α＝， ∴cos α＝＝， ∴cos＝cos αcos－sin αsin＝×－×＝. (2)∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)， 由cos(α＋β)＝， 得sin(α＋β)＝＝， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝. 三、给值求角 例3 已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝_____. 答案　 解析　∵α，β为锐角，sin α＝，cos β＝， ∴cos α＝，sin β＝， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－. 又∵0<α＋β<π，∴α＋β＝. 迁移 本例中若sin α＝，其余条件不变，求α－β的值. 解　因为α，β均为锐角， 且sin α＝，cos β＝， 所以cos α＝，sin β＝， 所以s ... ...