第五章 5.1.2 第2课时　导数的几何意义（课件+教案+学案+ 练习四份打包）高中数学人教A版选择性必修第二册

第2课时　导数的几何意义 ［学习目标］　1.通过函数图象直观理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 导语 同学们，经过前两节课的学习，我们经历了从物理中的瞬时变化，到几何中的切线的斜率，再到数学中函数在某点处的导数，不禁会想，我们学习导数的意义何在，其实，之前所学只为今天，今天我们将揭开谜底，一探导数的几何意义. 一、导数的几何意义 问题1　导数f'（x0）的几何意义是什么？ 提示　我们知道导数f'（x0）表示函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f（x）在x=x0附近的变化情况，如下图. 容易发现，平均变化率=表示的是割线P0P的斜率，当P点沿着曲线无限趋近于P0点时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T称为曲线y=f（x）在点P0处的切线，因此函数y=f（x）在x=x0处的导数f'（x0）就是切线P0T的斜率k0，即k0==f'（x0），这就是导数的几何意义. 知识梳理 函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率.也就是说，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率是f'（x0）.相应地，切线方程为y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）. 例1　已知曲线y=x3+. （1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程； （2）求曲线过点P（2，4）的切线方程. 解　（1）∵P（2，4）在曲线y=x3+上， ∴曲线在点P（2，4）处切线的斜率为 k= = =4. ∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2）， 即4x-y-4=0. （2）设曲线y=x3+与过点P（2，4）的切线相切于点A，则切线的斜率为 k==， ∴切线方程为y-=（x-x0）， 即y=·x-+. ∵点P（2，4）在切线上， ∴4=2-+，即-3+4=0. ∴+-4+4=0， ∴（x0+1）-4（x0+1）（x0-1）=0， ∴（x0+1）（x0-2）2=0， 解得x0=-1或x0=2. 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. 反思感悟　求曲线过某点的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 跟踪训练1　求曲线y=在点处的切线方程. 解　曲线在点处的切线的斜率 k===-， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y-=-（x-2），即x+4y-4=0. 二、利用导数的几何意义判断函数的变化 问题2　函数的单调性和导数有什么关系？ 导数值的大小与函数变化的快慢有什么关系？ 提示　如图， 当t=t0时，函数的图象在t=t0处的切线l0平行于t轴，即h'（t0）=0，这时，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降. 当t=t1时，函数的图象在t=t1处的切线l1的斜率h'（t1）<0，这时，在t=t1附近曲线下降，即函数在t=t1附近单调递减. 当t=t2时，函数的图象在t=t2处的切线l2的斜率h'（t2）<0，这时，在t=t2附近曲线下降，即函数在t=t2附近单调递减. 通过研究在t=t1和t=t2处的切线l1和l2，发现切线l1的倾斜程度小于切线l2的倾斜程度，这说明函数在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢. 知识梳理 若f'（x0）=0，则函数在x=x0处切线斜率k=0； 若f'（x0）>0，则函数在x=x0处切线斜率k>0，且函数在x=x0附近单调递增，且f'（x0）越大，说明函数图象变化得越快； 若f'（x0）<0，则函数在x=x0处切线斜率k<0，且函数在x=x0附近单调递减，且越大，说明函数图象变化得越快. 例2　已知y=f（x）的图象如图所示，则f'（xA）与f'（xB）的大小关系是（　　） A.f'（xA）>f'（xB） B.f'（xA）0说明曲线在x0处 ... ...