第四章 §4.4 数学归纳法（课件+教案+学案+练习四份打包）高中数学人教A版选择性必修第二册

［学习目标］　1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的命题. 导语 同学们，生活中大家是否有过这种经历，比如说，你在家里做错了一点事情，你的父母就会感觉你做什么都是错的；比如说，你知道有一个人欺骗了你，你就会感觉所有的人都在欺骗你；比如说，当你做题时，第一个题不会，你就会认为所有的题目都不会了，其实这些都用了不完全归纳的方法，其结论不一定成立，而这些也往往给予特定的目标一些心理暗示，容易对一些目标造成心理伤害，今天我们就一起解决这些特定目标的心理障碍吧. 一、数学归纳法的理解 问题1　如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 提示　不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.不完全归纳法得到的结论不一定正确. 问题2　在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？ 提示　（1）要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下；（2）第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下.像这样的推理方法叫做数学归纳法.它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的. 知识梳理　 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n=n0（n0∈N*）时命题成立； （2）（归纳递推）以“当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法. 注意点：初始值n0不一定是1，要结合题意恰当地选择. 例1　（1）用数学归纳法证明不等式2n>（n+1）2（n≥n0，n∈N*）时，初始值n0应等于　　　　. 答案　6 解析　由题意，得当n=1时，21<（1+1）2；当n=2时，22<（2+1）2；当n=3时，23<（3+1）2；当n=4时，24<（4+1）2；当n=5时，25<（5+1）2；当n=6时，26>（6+1）2，所以用数学归纳法证明不等式2n>（n+1）2（n≥n0，n∈N*）时，初始值n0应等于6. （2）用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1（n∈N*）的过程如下： ①当n=1时，左边=1，右边=21-1=1，等式成立. ②假设当n=k（k∈N*）时等式成立，即1+2+22+…+2k-1=2k-1，则当n=k+1时，1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1，所以当n=k+1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*，等式都成立.上述证明，错误是　　　　　　　　　. 答案　未用归纳假设 解析　本题在由n=k成立证明n=k+1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符. 反思感悟　数学归纳法的三个关键点 （1）验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律. （3）利用假设是核心：在第二步证明n=k+1时，一定要利用归纳假设. 跟踪训练1　对于不等式