第2课时 双曲线的几何性质的综合问题 【学习目标】 理解双曲线的离心率、渐近线. 【课前预习】 ◆ 知识点一 双曲线的离心率 我们把叫作双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率,用e表示.因为c>a>0,所以e=>1.决定双曲线的开口大小,越大,双曲线的开口就越大.因为===,所以 ,e也 ,从而离心率e可以用来表示双曲线开口的程度. 【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) 双曲线的离心率越大,双曲线的开口越大. ( ) 2.椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围是否相同 ◆ 知识点二 双曲线的渐近线 一般地,直线y=x和y=-x称为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线. 直线y=x和y=-x称为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线. 【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) 双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的渐近线相同. ( ) 2.当双曲线的渐近线确定时,其标准方程能确定吗 【课中探究】 ◆ 探究点一 双曲线的离心率 例1 (1)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的3倍,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D. (2)已知A,B分别为焦点在x轴上的双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且△ABM的顶角为120°,则E的离心率为 ( ) A. B.2 C. D. 变式 (1)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若在双曲线C上存在点P(不是顶点),使得∠PF2F1=3∠PF1F2,则C的离心率的取值范围为 ( ) A.(,2) B.(,+∞) C.(1,] D.(1,] (2)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且双曲线上存在点P,使|PF1|=2|PF2|,求双曲线离心率的取值范围. [素养小结] 求双曲线离心率的值或取值范围的方法: (1)求a,b,c的值,由e2===1+或e=直接求e. (2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解. 拓展 设F1,F2分别是双曲线M:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A,B两点,若点F2满足·<0,则双曲线的离心率e的取值范围是 ( ) A.1+1 C.1 ◆ 探究点二 双曲线的渐近线 例2 (1)双曲线2x2-y2=-8的渐近线方程是 ( ) A.y=±x B.y=±2x C.y=±x D.y=±x (2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的一条渐近线的方程为 ( ) A.x-y=0 B.x-y=0 C.x-y=0 D.x-y=0 变式 (1)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其两条渐近线的夹角为 . (2)已知双曲线的渐近线方程为2x±y=0,其焦点到渐近线的距离为2,则此双曲线的标准方程为 . [素养小结] 对于双曲线的渐近线,有下面两种考查方式: (1)已知双曲线的方程求其渐近线方程; (2)给出双曲线的渐近线方程求双曲线的方程,由渐近线方程可确定a,b的关系,结合已知条件可解. 拓展 过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点F作C的一条渐近线的垂线l,垂足为M,l与C的另一条渐近线交于点N,且+=0,则C的渐近线方程为 ( ) A.2x±y=0 B.x±y=0 C.x±y=0 D.x±y=0 ◆ 探究点三 与双曲线有关的轨迹问题 例3 (1)已知P是圆F1:(x+3)2+y2=16上的一个动点,点F2(3,0),线段PF2的垂直平分线交直线PF1于点Q,则点Q的轨迹方程为 ( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1(x>0) (2)已知M(-2,0),圆C:x2-4x+y2=0,动圆P经过M点且与圆C相切,则动圆圆心P的轨迹方程是 ( ) A.x2-=1(x≥1) B.-y2=1(x≥) C.x2-=1 D.-y2=1 变式 动圆M截直线x-3y=0和3x-y=0所得的弦长分别为8,4,则动圆圆心M的轨迹是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 [素养小结] 求与双曲线有关的轨迹方程常用下列方法:1.待定系数法;2.直译法;3.定义法;4.相关点法. 第2课时 双曲线的几何性质的综合问题 【课前预习】 知识点一 越大 越大 诊断分析 1.√ 2.解:不相同.双曲线的离心率的取值范围是(1,+∞);椭圆的离心率的取值范围是(0,1 ... ...
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