2.4 圆与圆的位置关系 【学习目标】 1.能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系. 2.能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 【课前预习】 ◆ 知识点 圆与圆的位置关系 1.两圆的位置关系包括:外离、 、 、 和内含. 2.两圆的位置关系的判断: (1)代数法:已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0),由消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,进而进行判断. (2)几何法:已知两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆心连线的长d,进而进行判断. (3)判断标准: 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公共点 个数 0 1 2 1 0 Δ的值 Δ<0 Δ=0 Δ<0 d与r1, r2的 关系 d=r1+r2 d<|r1-r2| 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两圆的方程联立,若方程组有两个解,则两圆相交. ( ) (2)若两个圆没有公共点,则两圆一定外离. ( ) (3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立. ( ) (4)当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆一定内含. ( ) 【课中探究】 ◆ 探究点一 两圆位置关系的判断 例1 (1)[2024·江苏淮安高二期中] 已知圆C1:(x+2)2+y2=4与圆C2:(x-2)2+(y-1)2=4,则两圆的位置关系为 ( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 (2)若圆C1:x2+y2+4x-4y+7=0与圆C2:x2+y2-4x+2y+m=0相切,则实数m的值为 . 变式 (1)(多选题) 已知b∈R,圆C1:(x-1)2+(y-b)2=4,C2:x2+y2=1,则 ( ) A.两圆可能外离 B.两圆可能外切 C.两圆可能相交 D.两圆可能内含 (2)已知圆C1:x2+y2-2x+4y-4=0和圆C2:4x2+4y2-16x-16y+31=0,则这两个圆的公切线的条数为 ( ) A.1或3 B.4 C.0 D.2 [素养小结] 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法:将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较,进而判断出两圆的位置关系,这是在解析几何中主要使用的方法. (2)代数法:将两圆的方程组成方程组,根据方程组解的个数判断两圆的位置关系. ◆ 探究点二 已知位置关系求圆的方程 例2 (1)求与两坐标轴及圆C:x2+y2-6x-2y+9=0都相切且圆心在第一象限的圆的标准方程; (2) 求过圆C1:x2+y2-2y-4=0和圆C2:x2+y2-4x+2y=0的交点,且圆心在直线l:2x+4y-1=0上的圆的方程. 变式 (1)[2024·江西九江高二期末] 经过点(0,4),且与圆C:x2+y2+10x+10y=0相切于原点的圆的方程为 . (2)[2024·江苏连云港高二期中] 圆心在直线y=x上,且与直线y=-x及圆(x-3)2+(y-3)2=2都相切的一个圆的方程为 . [素养小结] 已知位置关系求圆的方程,先利用已知条件设出圆的标准方程或一般方程,再根据直线与圆或者圆与圆的位置关系建立适当的方程,求出圆的方程中的参数,进而写出圆的方程. ◆ 探究点三 已知两圆位置关系求参数或最值 例3 (1)已知圆C1:(x+2)2+(y-2)2=r2(r>0)与圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4,若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,则实数r等于 ( ) A.7 B.3 C.3或7 D.5 (2)已知P是圆C:x2+y2=1上一点,Q是圆D:(x-3)2+(y+4)2=3上一点,则|PQ|的最小值为 ( ) A.1 B.4- C.2 D.3- 变式 已知两圆C1,C2内切,且C1,C2的半径是方程x2+px+q=0的两根,两圆的圆心距为1,圆C1的半径为3,则p+q= ( ) A.2或4 B.4 C.1或5 D.5 [素养小结] 利用两圆的位置关系求参数的值或范围问题有以下几个步骤: (1)化成圆的标准方程,写出圆心和半径; (2)计算两圆圆心之间的距离d; (3)通过两圆的位置关系列出关于d,r1+r2,|r1-r2|的关系式,从而求得参数的值或范围. 拓展 [2024·广东深圳高二期中] 月球背面指月球永远背对地球的那一面,从地球上始终不 ... ...
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