第三章 空间向量与立体几何 §1 空间直角坐标系 1.1 点在空间直角坐标系中的坐标 1.2 空间两点间的距离公式 【学习目标】 1.会表示空间中点的坐标. 2.能利用空间中两点间的距离公式表示空间中的距离. 【课前预习】 ◆ 知识点一 空间直角坐标系 1.如图,过空间任意一点O,作三条两两垂直的直线,并以点O为原点,在三条直线上分别建立数轴:x轴、y轴和z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点O叫作 ,x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作 ,通过每两条坐标轴的平面叫作 ,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面. 2.一般是将x轴和y轴放置在水平面上,那么z轴就垂直于水平面.它们的方向通常符合 ,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴正方向,然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向,此时大拇指的指向即为z轴正方向.我们也称这样的坐标系为 (如图). 【诊断分析】 1.是否任意三条直线均可建立空间直角坐标系 2.一个确定的空间直角坐标系,可以组成几个坐标平面 ◆ 知识点二 点在空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中,对于空间任意一点P,都可以用唯一的一个三元有序实数组 来表示;反之,对于任意给定的一个三元有序实数组(x,y,z),都可以确定空间中的一个点P(如图).这样,在空间直角坐标系中,任意一点P与三元有序实数组(x,y,z)之间,就建立了一一对应的关系:P (x,y,z).三元有序实数组(x,y,z)叫作点P在此空间直角坐标系中的 ,记作P(x,y,z),其中x叫作点P的 ,y叫作点P的 ,z叫作点P的 . 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)在空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x=0,竖坐标z=0. ( ) (2)在空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z=0. ( ) (3)关于坐标平面yOz对称的点的纵、竖坐标不变,横坐标相反. ( ) ◆ 知识点三 空间两点间的距离公式 已知空间中P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)两点,则P,Q两点间的距离为 .这就是空间两点间的距离公式. 【诊断分析】 1.空间两点间的距离公式与平面两点间的距离公式有何异同 2.方程(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=9表示什么图形 【课中探究】 ◆ 探究点一 点在空间直角坐标系中的坐标 例1 (1)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上,且C1E=3EC.建立如图所示的空间直角坐标系,则点E的坐标为 ( ) A.(0,2,0) B.(0,2,2) C.(0,2,1) D.(2,2,1) (2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,正方体的棱长为1.建立如图所示的空间直角坐标系,写出点E,F的坐标. 变式 (1)(多选题)下列关于空间直角坐标系O-xyz中的一点P(1,2,3)的说法正确的有 ( ) A.线段OP的中点的坐标为 B.点P关于x轴对称的点的坐标为(-1,-2,-3) C.点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,-3) D.点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2,-3) (2)讨论满足下列条件的点P的坐标(x,y,z)的特征: ①点P在坐标平面上; ②点P在坐标轴上. [素养小结] 1.已知空间中P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)两点,则线段PQ的中点坐标为. 2.点P(x,y,z)关于坐标原点对称的点的坐标为(-x,-y,-z);点P(x,y,z)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y,-z);点P(x,y,z)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y,-z);点P(x,y,z)关于z轴对称的点的坐标为(-x,-y,z);点P(x,y,z)关于xOy平面对称的点的坐标为(x,y,-z);点P(x,y,z)关于yOz平面对称的点的坐标为(-x,y,z);点P(x,y,z)关于zOx平面对称的点的坐标为(x,-y,z). ◆ 探究点二 空间两点间的距离公式 例2 (1)在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A(1,2,2),则OA= ,点A到yOz平面的距离是 . (2)(多选题)已知点A(-2,3,4),若在z轴上有一点B,使AB=7,则点B的坐标可能为 ... ...
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