第3章 圆锥曲线与方程 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知双曲线C:3x2-y2=3,则C的焦点到其渐近线的距离为 ( ) A. B. C.2 D.3 2.已知两定点M(0,-1),N(0,1),直线l:y=x+,则在l上满足|PM|+|PN|=2的点P的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.0或1或2 3.已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且·=·,则动点P的轨迹C的方程为 ( ) A.x2=4y B.y2=3x C.x2=2y D.y2=4x 4.嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日在西昌卫星发射中心发射.12月12日下午4点43分左右,嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道(可近似看作焦点在y轴的椭圆),如图1中轨道③所示,其近月点到月球表面的距离为100 km,远月点到月球表面的距离为400 km,已知月球的直径约为3 476 km,对该椭圆有四个结论:(1)焦距长约为300 km;(2)长轴长约为3 988 km;(3)两焦点坐标约为(0,±150);(4)离心率约为.则上述结论正确的是 ( ) 图1 A.(1)(2)(4) B.(1)(3) C.(1)(3)(4) D.(2)(3)(4) 5.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为 ( ) A.8 B.16 C.32 D.64 6.如图2,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心,|F1F2|为半径的圆与两条渐近线交于A,B,C,D四点,∠ACB=90°,则双曲线的离心率为 ( ) 图2 A.2 B. C. D.3 7.画法几何的创始人———法国数学家加斯帕尔·蒙日发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2,椭圆C的离心率为,M为蒙日圆上一个动点,过点M作椭圆C的两条切线,与蒙日圆分别交于P,Q两点,则△MPQ面积的最大值为 ( ) A.3b2 B.2b2 C.b2 D.6b2 8.已知椭圆C:+=1(a>b>0),直线l过坐标原点并交椭圆于P,Q两点(P在第一象限),点A是x轴正半轴上一点,其横坐标是点P横坐标的2倍,直线QA交椭圆于点B,若直线BP恰好是以PQ为直径的圆的切线,则椭圆的离心率为 ( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知曲线C:y2=m(x2-4),其中m为非零常数,则下列结论中正确的是 ( ) A.当m=-1时,曲线C是一个圆 B.当m>0时,曲线C是一个双曲线 C.当m=-3时,曲线C是焦点为(0,±2 )的椭圆 D.若曲线C是离心率为的椭圆,则m=-2 10.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若|AF1|=|BF2|=2|AF2|,则 ( ) A.∠AF1B=∠F1AB B.双曲线的离心率e= C.直线AB的斜率为±4 D.原点O在以F2为圆心,AF2为半径的圆上 11.数学中的很多符号具有简洁、对称的美感,是形成一些常见的漂亮图案的基石,也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.如我们熟悉的∞符号,我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”.经研究发现,在平面直角坐标系xOy中,到定点A(-a,0),B(a,0)距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹C是“∞曲线”.若点P(x0,y0)是轨迹C上一点,则下列说法中正确的有 ( ) A.曲线C关于原点O成中心对称 B.x0的取值范围是[-a,a] C.曲线C上有且仅有一点P满足|PA|=|PB| D.曲线C上所有的点P都在圆x2+y2=2a2上或其内部 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为 . 13.已知直线l:4x-3y+8=0,若P是抛物线y2=4x上的动点,则点P到直线l和它到y轴的距离之和的最小值为 . 14.阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b> ... ...
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