专题2.5 用公式法求解一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 2.一元二次方程根的判别式 用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用公式法解一元二次方程 【例1】（23-24九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列万程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)方程无解 (3)， (4)， 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式，先确定 的值，判断方程是否有根，最后求得根即可． （1）（2）运用公式法解一元二次方程即可； （3）（4）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可； 解：（1） ， ， ∴， 解得，； （2） ， ， 方程无解； （3） ， ， ∴， 解得，； （4） ， ， ∴， 解得，． 【变式1】（23-24八年级下·河北张家口·期末）利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 解：， ∴， ， ， ∵一元二次方程式的两解为、，且， ∴的值为． 故选：A． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 解：本题考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式确定出方程即可． 解：根据题意得：， 则该一元二次方程是， 故答案为：． 【题型2】公式法解一元二次方程的应用 【例2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点设，，则线段的长是方程的一个根吗？请说明理由． 【答案】是，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，公式法解一元二次方程，根据勾股定理求出的长，进而求出的长，公式法求出方程的根，进行判断即可． 解：是，理由如下： 由作图可知：， ∵，，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的根为：， ∴， ∴的长是方程的一个根． 【变式1】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，，点是上一点，将沿翻折，使点落在上，得到．下列哪条线段的长度是方程的一个根（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解方程，得出，由折叠得出，根据勾股定理得出，根据，得出，即可得出答案． 解：方程的根为： ， 由折叠可知， ， ． ， ， 的长度是方程的一个根． 【点拨】本题巧妙地将代数问题与几何问题结合在一起，主要考查了二元一次方程根的求解、翻折的性质、勾股定理、矩形的性质，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式，并能用含，的代数式正确表示出图形中各线段的长度． 【变式2】（22-23九年级上·四川成都·开学考试）已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，一元二次方程的求解，分别用a表示出至，然后将至代入得到关于a的方程，解出a的值即可． 解：， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 【题型3】不解方程，判断一元二次方程根的情况 【解题方法】一化：化为一般形式；二找：找出abc,并确定其值；三算：算的值；四判：判断根的情况。 【例3】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）不解方程，判断关于x的方程的根的情况． 【答案】见解析 【分析】利用分类讨论：（1）若，由，根据判断方程根的情况；（2）若，方程为，方程有1个实数根． 解： ... ...
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