专题4.28 图形的相似（全章知识梳理与考点分类讲解）（北师大版）（含答案） 2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.28 图形的相似（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】比例线段定义 在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 【知识点二】比例线段的性质 (1)基本性质：； (2)合比性质： ＝； (3)等比性质：； 【知识点三】平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示， 若l3∥l4∥l5，则，. 【知识点四】平行线分线段成比例推论 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若∥，则，. 【知识点五】黄金分割 点把线段分成两条线段和，如果，那么线段被点黄金分割．其中点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比． 【知识点六】相似多边形的性质 （1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例. （2）相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 【知识点七】相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． (3) 三边对应成比例的两个三角形相似． (4) 满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 【知识点八】相似三角形的性质 (1)对应角相等，对应边成比例． (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比． 【知识点九】相似三角形的应用 测量物体的高度：利用影长、利用标杆、利用镜子. 【知识点十】常见模型 【知识点十一】位似图形的定义 如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 【知识点十二】位似图形性质 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 【知识点十三】位似图形的画法： （1）确定位似中心； （2）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点； （3）描出新图形. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用比例基本性质求值（含黄金分割） 【例1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）（1）已知，，是，的比例中项，求； （2）如图，是的黄金分割点，且，，求的长． 【变式1】（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知，则（ ） A．1 B． C．1或 D．2 【变式2】（23-24八年级下·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 【题型2】平行线分线段成比例定理求值与证明（含构造平行线分线段成比例） 【例2】（2024·浙江温州·一模）如图，在中，平分交于点，为边上一点，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【变式1】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，，、是边上的两点，且，点是上的一动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2 【变式2】（2024·四川成都·一模）如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ． 【题型3】探索三角形相似的条件三种判定方法 【例3】（2024·北京西城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接． （1）求的值； （2）求证：． 【变式1】（2023·贵州·模拟预测）如图，在的正方形网格中，和的顶点都在正方形的格点处，则与的周长之比是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似 ... ...