3.2 基本不等式 第1课时 基本不等式 【学习目标】 1.掌握基本不等式,从代数结构、几何直观、数量关系、实际意义等角度分析、理解基本不等式. 2.初步运用基本不等式解决简单的证明问题,发展数学运算素养和逻辑推理素养,培养发现问题、提出问题的意识与能力. ◆ 知识点 基本不等式 1.基本不等式:≥(a≥0,b≥0),当且仅当 时,等号成立. 2.算术平均值与几何平均值:设a≥0,b≥0,则 称为a,b的算术平均值, 称为a,b的几何平均值. 3.基本不等式又称为均值不等式,也可以表述为:两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.当且仅当a,b两数相等时两者相等. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若ab≥0,则≥. ( ) (2)当x≠0时,有x+≥4. ( ) ◆ 探究点一 正确理解基本不等式 例1 (1)(多选题)下列说法正确的是 ( ) A.若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2 B.若a>0,b>0,则ab≤ C.对任意的a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2均成立 D.若a≠0,则a+≥2=2 (2)设0
2a B.≥2 C.x2+≥1 D.≤2 [素养小结] 基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化,当题目中不等号的一端是“和式”而另一端是“积式”时,就可以考虑利用基本不等式来解决.在应用基本不等式的过程中要注意“一正、二定、三相等”. ◆ 探究点二 利用基本不等式求最值 例2 (1)已知函数y=9x+-2,当x>0时,( ) A.y有最大值4 B.y有最小值4 C.y有最小值8 D.y有最大值8 (2)若x>2,则x+的最小值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 变式 (1)已知x>0,则4-2x-的最大值为( ) A.-2 B.-1 C.0 D.2 (2)已知x>0,则的最小值为 ( ) A.5 B.3 C.-5 D.-3 [素养小结] 利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时,需满足(1)a,b必须都是正数(一正);(2)当a+b为定值时,可以知道ab的最大值,当ab为定值时,可以知道a+b的最小值(二定);(3)当且仅当a=b时,等号成立(三相等). ◆ 探究点三 利用基本不等式比较大小 例3 已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,试比较+,,4的大小. 变式 已知a>1,则,,三个数的大小关系是 ( ) A.<< B.<< C.<< D.<< [素养小结] 应用基本不等式比较大小,一般有两种思路:(1)结合基本不等式,确定每个式子的范围,用不等式的传递性比较大小;(2)观察待比较式子的结构特征,合理选取基本不等式或其变式,利用不等式的性质比较大小. ◆ 探究点四 利用基本不等式证明不等式 [提问] 要证明不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx,你会联想到哪些不等式 通过怎样的方式求证呢 例4 设a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c. 变式 [2024·福建将乐一中高一月考] 已知a>0,b>0,且a+b=2,证明:+≤2. [素养小结] 要证明的不等式具有一边或两边是三个式子相加或相乘的形式时,通常先用基本不等式两两结合,再用同向不等式相加或相乘的性质来证明. 拓展 已知a,b,c都是正实数,且a+b+c=1. 求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc. 3.2 基本不等式 第1课时 基本不等式 【课前预习】 知识点 1.a=b 2. 诊断分析 (1)× (2)× [解析] (1)在基本不等式中,要求a,b都是非负数,故(1)错误. (2)没有考虑x的正负,当x>0时,x+≥2=4(当且仅当x=2时,等号成立);当x<0时,x+=-≤-2=-4(当且仅当x=-2时,等号成立),故(2)错误. 【课中探究】 探究点一 例1 (1)AB (2)B [解析] (1)由基本不等式可知A,B正确;当a≥0,b≥0时,a+b≥2成立(当且仅当a=b时,等号成立),故C错误;而D中,当a<0时,该不等式不成立.故选AB. (2)因为b>a>0,所以>,ab>a2,2b>b+a,所以b>,>a,所以a<<
