第2课时 基本不等式的简单应用 【学习目标】 1.能够运用基本不等式变形求最值. 2.掌握基本不等式在实际问题中的应用. ◆ 知识点一 基本不等式与最大(小)值 当x,y均为正数时,下面的命题均成立: (1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值; (2)若xy=p(p为定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最小值2. 拓展:当a>0,b>0时,≤≤≤,当且仅当a=b时,等号同时成立. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于实数a,b,若ab为定值,则a+b有最小值. ( ) (2)若x>2,则x+的最小值为2. ( ) ◆ 知识点二 基本不等式在实际问题中的应用 用基本不等式解决实际问题时的常用思路 (1)理解题意,设出变量,设变量时一般把需要求最大值或最小值的变量定义为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题转化、抽象为函数的最大值或最小值问题; (3)根据已知变量的范围,求出函数的最大值或最小值; (4)结合实际意义求出正确的答案,回答实际问题. ◆ 探究点一 利用基本不等式的变形求最值 例1 (1)若x>3,则x+的最小值为 . (2)若x>0,y>0,且+=1,则x+2y的最小值是 . (3)设01,则y=的最小值为 . 变式 (1)已知x<,则y=4x-2+的最大值为 . (2)已知x>0,y>0,且+=1,则xy的最小值为 . [素养小结] (1)利用基本不等式求最值时,各项必须为正数,小于0的项可以通过取相反数或绝对值变为大于0的项后再求解;(2)等号能否成立是一个关键步骤,要认真验证,不能省略;(3)主要方法有常数代换法、凑配法、分离变量法、多元化一元法等. 拓展 [2024·黑龙江龙东五地高一期中] 已知a>0,b>0,2a+b=ab,则+的最小值为 ( ) A.2 B.3 C.2 D.4 ◆ 探究点二 基本不等式在实际问题中的应用 例2 某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境,计划建一个八边形的休闲区域,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的“十字形”地域,如图所示.现计划在正方形MNPO上建一花坛,造价为4200元/m2,在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪,造价为210元/m2,再在四个空角上铺草坪,造价为80元/m2.设总造价为S元,AD边的长为x m. (1)试建立S关于x的函数关系式; (2)至少要投入多少元才能建造这个休闲区域 变式 [2024·陕西榆林府谷中学高一月考] 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD,如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH=2EF),宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2.为了美观,要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm(宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10 cm),设EF=x cm. (1)当x=60时,求海报纸(矩形ABCD)的周长; (2)为节约成本,应如何选择海报纸的尺寸,可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小) [素养小结] 在应用基本不等式解决实际问题时,应注意以下两点: (1)从题意中要确定使得基本不等式中等号成立的条件,或者从构建的函数模型中直接求出等号成立的条件; (2)所求出的最值必须符合实际情况. 第2课时 基本不等式的简单应用 【课前预习】 知识点一 诊断分析 (1)× (2)× [解析] (1)要求a,b都为正实数且等号能取到,才会有最值,故(1)错误;(2)取不到等号,错误. 【课中探究】 探究点一 例1 (1)+3 (2)8 (3) (4)2 [解析] (1)(凑配法)因为x>3,所以2x-6>0,所以x+=x-3++3≥2+3=+3,当且仅当x-3=,即x=3+时,等号成立,故x+的最小值为+3. (2)(常数代换法)因为x>0,y>0,且+=1,所以x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8,当且仅当即时,等号成立,所以x+2y的最小值为8. (3)(凑配法)∵0
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