§2 函数 2.1 函数概念 【学习目标】 1.理解用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用. 2.了解构成函数的要素. 3.会求一些简单函数的定义域和值域. 4.能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域. ◆ 知识点 函数的概念 1.定义 给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系f,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有 确定的数y和它对应,那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A. 其中集合A称为函数的定义域,x称为 ,与x值对应的y值称为 ,集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域. 2.函数的构成要素: 、 和 . 3.同一个函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数是同一个函数. 【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的定义域和值域一定是无限集合. ( ) (2)根据函数的定义,定义域中的一个x可以对应着不同的y. ( ) (3)f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量. ( ) 2.如何理解函数符号“y=f(x)”表示“y是x的函数” ◆ 探究点一 函数定义的应用 例1 (1)(多选题)以下从M到N的对应关系表示函数的是 ( ) A.M=R,N=R,f:x→y= B.M=R,N={y|y≥0},f:x→y=|x| C.M={x|x>0},N=R,f:x→y=± D.M={x|x≥2,x∈N*},N={y|y≥0,y∈N*},f:x→y=x2-2x+2 (2)[2024·安徽淮南高一期中] 设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是 ( ) A B C D (3)下列各组函数表示同一个函数的是 ( ) A.f(x)=,g(x)=x-1 B.f(x)=·,g(x)= C.f(x)=,g(x)=x D.f(x)=|x+2|,g(t)= [素养小结] 判断两个函数是否为同一个函数,一定要看定义域和对应关系是否全部相同.定义域和值域分别相同的两个函数不一定是同一个函数,如果对应关系不同,那么这两个函数一定不是同一个函数. ◆ 探究点二 求函数的定义域 例2 求函数y=++(x+1)0的定义域. 变式 函数f(x)=的定义域为 . [素养小结] 求函数定义域的方法及注意问题: (1)使函数有意义的条件一般有:①分式的分母不为0;②偶次根式的被开方数非负;③对于y=x0,要求x≠0. (2)不对解析式化简变形,以免定义域变化. (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各个式子都有意义的公共部分的集合. 拓展 (1)已知函数y=f(x)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是 ( ) A. B.[-1,4] C. D.[-5,5] (2)已知函数f(2x-1)的定义域为(-1,9),则函数f(3x+1)的定义域为 ( ) A. B. C. D.(-2,28) ◆ 探究点三 函数的求值问题 例3 已知函数f(x)=x2+x-1. (1)求f(2),f[f(2)],f(a+1); (2)若f(x)=5,求x的值. 变式 (1)已知f(x)=则f+f等于 ( ) A.1 B. C.2 D. (2)已知函数f(x)满足f(x)=则f[f(5)]= . [素养小结] 函数求值问题的解题思路. (1)已知函数的解析式求函数值,只需将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值,当自变量的值为含有字母的代数式时,要将代数式作为一个整体代入解析式求解. (2)已知函数解析式,求对应函数值的自变量的值,只需将函数值代入解析式,建立关于自变量的方程即可求解,注意函数定义域对自变量取值的限制. ◆ 探究点四 求函数的值域 例4 求下列函数的值域. (1)y=; (2)f(x)=-x2+2x+1,x∈[0,3]; (3)f(x)=x-; (4)y=. 变式 求下列函数的值域. (1)y=-2; (2)y=; (3)y=x-; (4)y=; (5)y=(x>1). [素养小结] 求函数值域的方法有观察法、图象法、分离常数法、换元法、判别式法等,对于一些常用的方法应熟练掌握. §2 函数 2.1 函数概念 【课前预习】 知识点 1.唯一 自变量 函数值 2.定义域 对应关 ... ...
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