3.1.2椭圆的简单几何性质（教案）2024-2025学年 高中数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单几何性质 教案 学习目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、定点、离心率等简单几何性质. 2.能利用椭圆的简单性质求椭圆方程. 3.能用椭圆的简单几何性质分析解决有关问题. 4.理解数形结合思想. 教学重难点 1.教学重点：椭圆的几何性质. 2.教学难点：椭圆性质的理解和应用. 教学过程 情境引入 实验：取几组不同的满足的值，描点作图或利用计算机作图软件作出方程的图象，观察图象并思考下列问题： 1.范围：图象分布范围是否有限？如果有限，最左、最右、最低、最高分别到什么位置？找出最左、最右、最低、最高的点. 2.对称性：图象是不是中心对称图形？如果是，找出对称中心.图象是不是轴对称图形？如果是，找出对称轴. 3.通过观察，图象还有没有其他的性质？如果有，试作出说明. 4.试根据方程解释你所观察到的现象. 下面，我们通过对椭圆标准方程的研究，来认识椭圆的一些简单几何性质. 新知积累 1.范围 由椭圆的标准方程可知，椭圆上任意一点的坐标都适合不等式，，即所以，. 这说明，椭圆位于四条直线所围成的矩形内（如图）. 同理可知，椭圆位于四条直线所围成的矩形内. 2.对称性 ①对称轴 平面上任一点关于轴的对称点是.在椭圆的标准方程中，将换成，方程不变，这说明当点在椭圆上时，它关于轴的对称点也在椭圆上，因此椭圆关于轴对称（如图）. 平而上任一点关于轴的对称点是.在椭圆的标准方程中，将换成，方程不变，这说明当点，)在椭圆上:时，它关于轴的对称点也在椭圆上，因此椭圆关于轴对称. 我们知道，椭圆的标准方程是以两个焦点所连线段的中点为原点、以两焦点连线为轴或轴得到的.因此，平面上任意一个椭圆都是轴对称图形，两焦点连线是它的对称轴，两焦点所连线段的垂直平分线也是它的对称轴. ②对称中心 平面上任一点关于原点的对称点是. 在椭圆的标准方程中，将换成，方程不变，这说明当点在椭圆上时，它关于原点的对称点也在椭圆上（如图).由此可知，椭圆关于原点中心对称，坐标原点叫作椭圆的对称中心. 对于平面上任意一个椭圆，它的两个焦点所连线段的中点是椭圆的对称中心，简称为椭圆的中心. 同样地，我们可以对椭圆方程进行类似的讨论. 3.顶点 椭圆的两条对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.在椭圆的标准方程中，令，得；令，得.因此，是椭圆的四个顶点，它们分别是椭圆最左、最右、最低、最高的点（如图）. 线段分别叫作椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和.椭圆的中心分别将长轴、短轴等分，和分别叫作长半轴长和短半轴长. 4.离心率 当变小时，的值逐渐变小，由知短轴长逐渐增大，因此椭圆会越来越圆，反之椭圆会越来越扁，这说明反映了椭圆的扁平程度.我们把半焦距与长半轴长的比叫作椭圆的离心率.对椭圆而言，因为，所以. 例题巩固 例4 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长为18，离心率为； （2）经过点，焦点在轴上. 解 （1）因为，， 所以. 于是. 椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上， 因此，所求的椭圆标准方程为或. （2）设椭圆方程具有标准形式. 将两点的坐标代入得①，②. 将看作未知数，则上述两个式子组成二元一次方程组. ②①得，即. ，即. 因此，所求的椭圆标准方程为. 例5 对不同的实数，讨论直线与椭圆的公共点的个数. 分析 判断直线与椭圆的公共点的个数，即判断由直线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解的个数. 解 由消去并整理得.③ 此方程的实数解的个数由它的判别式决定， 当时，，方程③有两个不相等的实数根，代入方程①可得到两个不同的公共点坐标.此时，直线与椭圆有两个公共点，即它们相交. 当或时，，方程③有两个相等的实数根，代入方程①可得到一个公共点坐标.此时，直线与椭圆有一个公共点.观察图象可知，它们在这一点相切. 当或 ... ...