2026届高中数学（通用版）一轮复习：第八章　思维进阶课7　圆锥曲线中的证明、探索性问题（课件 学案 练习，共3份）

　圆锥曲线中的证明、探索性问题 【思维突破妙招】　圆锥曲线中的证明、探索性问题是高考的热点、难点之一，相应的解题策略如下： 类型 解题策略 证明 问题 解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明． 探索性 问题 探索性问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论． 技法一�———�等价转化”法证明位置关系 [典例1]　(2023·北京高考)已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的离心率为，A，C分别为E的上、下顶点，B，D分别为E的左、右顶点，|AC|＝4． (1)求E的方程； [听课记录]_____ _____ (2)点P为第一象限内E上的一个动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N．求证：MN∥CD． [听课记录]_____ _____ 　树立“转化”意识，证明位置关系 [跟进训练] 1．(2025·八省联考)已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)． (1)求C的方程； (2)已知点M0(1，4)，证明：线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点； (3)设M是坐标平面上的动点，且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点．证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程． _____ 技法二�———�设而不求”法证明数量关系 [典例2]　已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线y＝x上的圆E与x轴相切，且点E，F关于点M(－1，0)对称． (1)求E和Γ的标准方程； (2)过点M的直线l与圆E交于A，B两点，与Γ交于C，D两点，求证：|CD|＞|AB|． [思维流程]　 [听课记录]_____ _____ 　解决此类问题，一般方法是“设而不求”，通过“设参、用参、消参”的推理及运算，借助几何直观地达到证明的目的． [跟进训练] 2．(2023·四省联考)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)过点A(4，3)，且焦距为10． (1)求C的方程； (2)已知点B(4，－3)，D(2，0)，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：＝． _____ 技法三　肯定顺推法求解存在性问题 [典例3]　已知椭圆C1：＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆C1的上顶点与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点F重合，且抛物线C2经过点P(2，1)，O为坐标原点． (1)求椭圆C1和抛物线C2的标准方程； (2)已知直线l：y＝kx＋m与抛物线C2交于A，B两点，与椭圆C1交于C，D两点，若直线PF平分∠APB，四边形OCPD能否为平行四边形？若能，求实数m的值；若不能，请说明理由． [思维流程] [听课记录]_____ _____ 　肯定顺推法求解存在性问题 先假设满足条件的元素(点、直线、曲线、参数等)存在，用待定系数法设出，并列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线、参数等)存在；否则，元素(点、直线、曲线、参数等)不存在． [跟进训练] 3．(2025·安徽名校联盟模拟)椭圆E：＋y2＝1的上顶点为P，圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)在椭圆E内． (1)求r的取值范围； (2)过点P作圆C的两条切线，切点为A，B，切线PA与椭圆E的另一个交点为N，切线PB与椭圆E的另一个交点为M．是否存在圆C，使得直线MN与之相切，若存在，求出圆C的方程；若不存在，说明理由． _____ 思维进阶课7　圆锥曲线中的证明、探索性问题 技法一 典例1　解：(1)由题意可得2b＝4，e＝＝，a2＝b2＋c2， 解得b＝2，a2＝9，∴椭圆E的方程为＝1． (2)证明：由题意可知，A(0，2)，B(－3，0)，C(0，－2)，D(3，0)， 直线BC的方程为＝1，即2x＋3y＋6＝0． 设直线AP的方程为y＝kx＋2(k＜0)， ∴N． 联立消去y并整理得(4＋9k2)x2＋36kx＝0，Δ＞0， 解得x＝0或x＝－， ∴P． 直线PD的方程为y＝(x－3)， 即y＝(x－3)， ... ...