2026届高中数学（通用版）一轮复习：第九章　第1课时　两个计数原理、排列与组合（课件 学案 练习，共3份）

第1课时　两个计数原理、排列与组合 [考试要求]　1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．会用两个计数原理及排列、组合分析和解决一些简单的实际问题． 1．两个计数原理 分类加法 计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_____种不同的方法 分步乘法 计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_____种不同的方法 2．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照_____排成一列 组合 作为一组 3．排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_____的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_____的个数 公式 ＝n(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)＝_ ＝＝[n(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)]＝__ 性质 ＝_____， 0！＝_ ＝___，＝___ [常用结论] 排列数、组合数常用公式 ＝． ＝． (3)(n＋1)！－n！＝n·n！． ＝＝． ＝． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列． (　　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事． (　　) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　) (4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版选择性必修第三册P11习题改编)如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．则从甲地到丁地的不同路线共有(　　) A．12条　　B．15条　　C．18条　　D．72条 2．(人教A版选择性必修第三册P19例4改编)从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，可以组成的无重复数字的三位偶数的个数为(　　) A．52 B．56 C．48 D．72 3．(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T13改编)从2名女生，4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有_____种(用数字作答)． 4．(易错题)(人教A版选择性必修第三册P12习题改编)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为_____．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有_____种(用数字作答)． 考点一　两个计数原理及综合应用 [典例1]　(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　) A．24　　　B．18　　　C．12　　　D．9 (2)(2025·重庆模拟)用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是(　　) A．120 B．72 C．48 D．24 (3)已知abc表示一个三位数，如果满足a>b且c>b，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”共_____个(用数字作答)． [听课记录]_____ _____ [拓展变式]若本例(1)中 CD段马路由于正在维修(如图)，暂时不通，则从E到G的最短路径有_____条． 　利用两个基本计数原理解决问题的步骤 提醒：涂色问题的两种常用解题方法：按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；以颜色为主分类讨论，用分类加法计数原理分析． [跟进训练] 1．(1)(2024·山东实验中学模拟)编号为A，B，C，D，E的5种蔬菜种在如图所示的五块试验田里，每块只能种一种蔬菜，要求A品种不能种在1，2试验田里，B品种必须与A种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为_____． (2)(教材改编)3 600有_____个正约数． (3 ... ...