3.2.1双曲线的标准方程（教案）2024-2025学年 高中数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线与方程 3.2.1 双曲线的标准方程 教案 学习目标 1.经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 3.通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想. 教学重难点 1.教学重点：双曲线的定义、标准方程. 2.教学难点：双曲线标准方程的推导. 教学过程 情境引入 我们知道，平面上到两个定点的距离之和为常数（大于）的点的轨迹是椭圆.那么，平面上到两个定点的距离之差为常数的点的轨迹又是什么曲线呢？ 实验：如图所示，把一条拉开一部分的拉链分成一长一短两条边，将拉开的两头固定在和处（拉链两边的长度之差小于间的距离），将铅笔尖放在拉链张开处点，慢慢拉开拉链，使铅笔尖慢慢移动，画出图形的一部分；再把拉链的两边交换位置分别固定在和处，用同样的方法可以画出图形的另一部分. 从画图过程可以发现，两点的位置保持不变，动点到两定点和的距离之差始终保持不变，等于拉链原长短边的长度之差. 新知积累 1.双曲线的定义 平面上到两个定点的距离之差的绝对值为正常数（小于）的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距. 2.双曲线的标准方程 ①焦点在x轴上的双曲线的标准方程 如图，以过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系.设点为双曲线上任意一点，它到两焦点和的距离之差的绝对值是定长.设双曲线的焦距是，则的坐标分别为. 根据双曲线的定义，点在双曲线上的充要条件是，即.① 类比建立椭圆标准方程的化简过程，化简①，得② 由双曲线的定义可知，，即，所以.设，则②式变为，上式两边同时除以，得.③ 方程③是双曲线的方程，称为双曲线的标准方程.它表示的双曲线的焦点在轴上，坐标分别为，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于. ②焦点在y轴上的双曲线的标准方程 如果双曲线的焦点在轴上，坐标分别为，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于，如图所示，则双曲线的方程为. 这也是双曲线的标准方程. 例题巩固 例1 已知双曲线两个焦点分别为 ，双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于6，求该双曲线的标准方程. 解 由于双曲线的焦点在 轴上，故可设它的标准方程为. 由双曲线的定义知 ，所以 . 又因为 ，所以 . 因此，所求双曲线的标准方程为. 例2 已知双曲线两个焦点分别为 ，并且双曲线经过点 ，求该双曲线的标准方程. 解 由于双曲线的焦点在 轴上，故可设它的标准方程为. 已知焦点 及双曲线上一点 ， 由双曲线的定义可知， 因此 . 又因为 ，所以 . 因此，所求双曲线的标准方程为. 例3 已知方程. （1）若方程表示双曲线，求 的取值范围； （2）试说明（1）中的双曲线有共同的焦点. 解 （1）方程表示双曲线，则 . 解得 ， 因此，当 时，方程表示双曲线，且原方程可写为. （2）由（1）可知，双曲线的焦点在 轴上，且 . 所以，方程表示的双曲线的焦点坐标为 ，显然与方程中的 无关，因此（1）中的双曲线有共同的焦点. 课堂练习 1.与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：方法一：椭圆C的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为（，）.因为双曲线过点，所以.又，所以，，所以双曲线的标准方程为. 方法二：设所求双曲线的方程为，则，所以，即双曲线的标准方程为. 方法三：椭圆C的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为（，）.由双曲线的定义可得，所以.因为，所以，因此双曲线的标准方程为. 2.已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意得，，则， 所以， 解得，所以的周长为. 3.从双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，点O为坐标原点，点M为PF ... ...