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3.2.2双曲线的简单几何性质(教案)2024-2025学年 高中数学湘教版(2019)选择性必修第一册

日期:2024-11-26 科目:数学 类型:高中教案 查看:67次 大小:277281B 来源:二一课件通
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第3章圆锥曲线与方程 3.2.2双曲线的简单几何性质 教案 学习目标 1.理解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率). 2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题. 教学重难点 1.教学重点:双曲线的几何性质. 2.教学难点:双曲线的几何性质的应用. 教学过程 情境引入 实验:选取几组不同的满足的值,描点作图或利用计算机作图软件作出双曲线的图象,观察图象并思考下列问题: 1.范围:图象是否分布在一个有限的范围之内,或者在某一个范围之外? 2.对称性:图象是不是中心对称图形?如果是,找出对称中心.图象是不是轴对称图形?如果是,找出对称轴. 3.通过观察,你能否发现图象还有其他的性质? 下面,我们通过对双曲线标准方程的研究,来认识双曲线的一些简单几何性质. 新知积累 1.范围 由双曲线的标准方程可知,双曲线上任意一点的坐标,都适合不等式,,即,,所以或. 这说明,双曲线的两支分别位于直线的左侧与直线的右侧,向左右两方无限延伸. 事实上,我们还可以更精确地描述双曲线分布的范围.双曲线上任意一点的坐标满足以下条件:. 所以当时,;当时,. 总之,双曲线处于两条相交直线所夹的、包含轴在内的那两个区域中,并且在直线所夹的区域外侧,如图. 2.对称性 在双曲线的标准方程中,将分别换成和,方程都不变,可见双曲线关于原点、轴和轴都是对称的.因此,双曲线有两条对称轴,即轴和轴;有一个对称中心,即原点,双曲线的对称中心称为双曲线的中心. 3.顶点 在双曲线的标准方程中,令,得,可见该双曲线与它的对称轴轴有两个交点,都称为双曲线的顶点. 令,得到,这个方程没有实数解,可见双曲线与它的另一条对称轴轴没有交点,但是作双曲线时常将点与画出来(如图). 线段分别叫作双曲线的实轴和虚轴,它们的长分别为和和分别表示双曲线的实半轴长和虚半轴长. 4.渐近线 我们已经知道,双曲线处于两条相交直线所夹的、包含轴在内的两个区域中.从图象上看,双曲线的两支向两端无限延伸,越来越接近于这两个区域的边界直线. 下面,我们通过方程来研究双曲线接近这两条直线的程度. 在双曲线方程中,将当作已知数,解出. 我们先取双曲线在第一象限内的部分进行考察,并研究这一部分向右上方接近直线的程度.为此,对同样的横坐标,计算出直线与双曲线上的点的纵坐标之差: . 随着的无限增大,分母无限增大,分子不变,可见无限接近于0,这说明双曲线在第一象限的部分在右上方无限接近直线. 在其他象限内,也可以类似地证明.总之,双曲线在无限延伸的过程中无限接近两条直线.这两条直线称为双曲线的渐近线. 如图,过双曲线的两个顶点分别作轴的平行线,经过分别作轴的平行线,这四条直线围成一个矩形,矩形的两条对角线所在的直线就是双曲线的两条渐近线. 5.离心率 与椭圆类似,双曲线的半焦距与实半轴长的比叫作双曲线的离心率.因为,所以双曲线的离心率. 显然,越大,越大,即渐近线的斜率的绝对值越大,说明双曲线的开口越大. 例题巩固 例4 求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率,并画出该双曲线的草图. 解 由双曲线方程可得实半轴长,虚半轴长, 则, 于是焦点坐标为. 渐近线方程为, 离心率. 为画出双曲线的草图,在坐标系中画出渐近线顶点.算出双曲线在第一象限内一点的坐标,例如取,算出,可见点在双曲线上.将轴右边已知的三点依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线,就画出了双曲线的一支.由对称性可画出位于轴左边的另一支,如图. 例5 已知双曲线的中心在原点,焦点在轴上,虚半轴长为,离心率为3,求该双曲线的标准方程. 解 由于双曲线的焦点在轴上,故可设它的标准方程为. 根据已知有解之得. 故所求双曲线的标准方程为. 例6 讨论直线与双曲线的公共点的个数. 解 ... ...

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