3.2.2双曲线的简单几何性质（教案）2024-2025学年 高中数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第3章圆锥曲线与方程 3.2.2双曲线的简单几何性质 教案 学习目标 1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）. 2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题. 教学重难点 1.教学重点：双曲线的几何性质. 2.教学难点：双曲线的几何性质的应用. 教学过程 情境引入 实验：选取几组不同的满足的值，描点作图或利用计算机作图软件作出双曲线的图象，观察图象并思考下列问题： 1.范围：图象是否分布在一个有限的范围之内，或者在某一个范围之外？ 2.对称性：图象是不是中心对称图形？如果是，找出对称中心.图象是不是轴对称图形？如果是，找出对称轴. 3.通过观察，你能否发现图象还有其他的性质？ 下面，我们通过对双曲线标准方程的研究，来认识双曲线的一些简单几何性质. 新知积累 1.范围 由双曲线的标准方程可知，双曲线上任意一点的坐标，都适合不等式，，即，，所以或. 这说明，双曲线的两支分别位于直线的左侧与直线的右侧，向左右两方无限延伸. 事实上，我们还可以更精确地描述双曲线分布的范围.双曲线上任意一点的坐标满足以下条件：. 所以当时，；当时，. 总之，双曲线处于两条相交直线所夹的、包含轴在内的那两个区域中，并且在直线所夹的区域外侧，如图. 2.对称性 在双曲线的标准方程中，将分别换成和，方程都不变，可见双曲线关于原点、轴和轴都是对称的.因此，双曲线有两条对称轴，即轴和轴；有一个对称中心，即原点，双曲线的对称中心称为双曲线的中心. 3.顶点 在双曲线的标准方程中，令，得，可见该双曲线与它的对称轴轴有两个交点，都称为双曲线的顶点. 令，得到，这个方程没有实数解，可见双曲线与它的另一条对称轴轴没有交点，但是作双曲线时常将点与画出来（如图）. 线段分别叫作双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为和和分别表示双曲线的实半轴长和虚半轴长. 4.渐近线 我们已经知道，双曲线处于两条相交直线所夹的、包含轴在内的两个区域中.从图象上看，双曲线的两支向两端无限延伸，越来越接近于这两个区域的边界直线. 下面，我们通过方程来研究双曲线接近这两条直线的程度. 在双曲线方程中，将当作已知数，解出. 我们先取双曲线在第一象限内的部分进行考察，并研究这一部分向右上方接近直线的程度.为此，对同样的横坐标，计算出直线与双曲线上的点的纵坐标之差： . 随着的无限增大，分母无限增大，分子不变，可见无限接近于0，这说明双曲线在第一象限的部分在右上方无限接近直线. 在其他象限内，也可以类似地证明.总之，双曲线在无限延伸的过程中无限接近两条直线.这两条直线称为双曲线的渐近线. 如图，过双曲线的两个顶点分别作轴的平行线，经过分别作轴的平行线，这四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线就是双曲线的两条渐近线. 5.离心率 与椭圆类似，双曲线的半焦距与实半轴长的比叫作双曲线的离心率.因为，所以双曲线的离心率. 显然，越大，越大，即渐近线的斜率的绝对值越大，说明双曲线的开口越大. 例题巩固 例4 求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率，并画出该双曲线的草图. 解 由双曲线方程可得实半轴长，虚半轴长， 则， 于是焦点坐标为. 渐近线方程为， 离心率. 为画出双曲线的草图，在坐标系中画出渐近线顶点.算出双曲线在第一象限内一点的坐标，例如取，算出，可见点在双曲线上.将轴右边已知的三点依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，就画出了双曲线的一支.由对称性可画出位于轴左边的另一支，如图. 例5 已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，虚半轴长为，离心率为3，求该双曲线的标准方程. 解 由于双曲线的焦点在轴上，故可设它的标准方程为. 根据已知有解之得. 故所求双曲线的标准方程为. 例6 讨论直线与双曲线的公共点的个数. 解 ... ...