4.2 简单幂函数的图象和性质 【学习目标】 1.掌握幂函数的概念和定义. 2.学会使用函数的知识自主分析、研究指数不同时幂函数的图象和性质的不同情况,学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手分析幂函数的性质,掌握探究函数性质的一般方法和步骤. 3.通过自主探究幂函数的图象和性质,培养知识的应用能力,提高数学运算和逻辑推理的核心素养. ◆ 知识点 幂函数 1.幂函数的定义:一般地,形如 (α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数. 2.简单幂函数的图象和性质 (1)在(0,+∞)上都有意义,图象都过点 . (2)当α>0时,图象都过原点,并且在(0,+∞)上 ;当α=0时,图象是除去点(0,1)的直线y=1;当α<0时,图象都不过原点,并且在(0,+∞)上 . 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y=-x2是幂函数. ( ) (2)函数y=x-1是幂函数. ( ) (3)幂函数的图象都过点(0,0)和点(1,1). ( ) (4)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. ( ) (5)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数. ( ) ◆ 探究点一 幂函数的定义 例1 (1)[2024·辽宁阜新高级中学高一月考] 现有下列函数:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x.其中幂函数的个数为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 (2)已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,则实数m= ( ) A.2或-1 B.-1 C.4 D.2 [素养小结] 在利用幂函数的定义解题时要特别注意,幂函数y=xα的系数必须是1,且没有其他项. ◆ 探究点二 幂函数的图象的认识 例2 已知函数①y=xa,②y=xb,③y=xc,④y=xd的大致图象如图所示, 则有理数a,b,c,d的大小关系为 ( ) A.d
0 B.p为奇数,且p<0 C.p为偶数,且p>0 D.p为偶数,且p<0 (2)比较下列各题中两个值的大小. ①2.,2.; ②(,(. 变式 (1)已知a=,b=1.,c=,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.cf(a),则实数a的取值范围是 . [素养小结] 1.比较幂函数的函数值大小的方法: (1)若指数相同,则利用幂函数的单调性比较大小. (2)若指数不同,则可采用中介值法,如先与0比较大小,若都大于0,再与1比较,直到比较出所有数的大小.若中介值法不行则要采用估值法,判断各数的范围,进而比较出各数的大小. 2.利用幂函数的性质解不等式,应借助相应的幂函数的单调性和奇偶性,将不等式转化为自变量的大小关系来求解. 4.2 简单幂函数的图象和性质 【课前预习】 知识点 1.y=xα 2.(1)(1,1) (2)单调递增 单调递减 诊断分析 (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× [解析] (1)根据幂函数的定义可知,y=-x2不是幂函数. (2)根据幂函数的定义可知,y=x-1是幂函数. (3)只有当α>0时,幂函数y=xα的图象才同时过点(0,0)和点(1,1). (4)由幂函数的定义及图象知,对于幂函数y=xα(α为常数),当α>0时,该函数的图象与坐标轴相交于原点,当α≤0时,该函数的图象与坐标轴不相交. (5)如函数y=x-1在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数. 【课中探究】 探究点一 ... ... 
