第一章 空间向量与立体几何高考命题探源 课件+教案+学案 （3份打包）人教A版高中数学选择性必修第一册

探源1　线面位置关系问题 [命题点分析]　高考卷中的对线、面的平行和垂直问题，一般不用向量法求解，但利用向量的坐标运算证明线、面的平行与垂直可以将逻辑推理转化为代数运算，降低思维难度，主要以解答题的形式呈现，难度中等．主要考查直观想象学科素养． 【案例1】　(2022·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D A　[在正方体ABCD A1B1C1D1中， AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD， 又EF 平面ABCD，所以EF⊥DD1， 因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC，所以EF⊥BD， 又BD∩DD1＝D， 所以EF⊥平面BDD1， 又EF 平面B1EF， 所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确； 如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2， 则B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)， A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)， 则＝(－1，1，0)，＝(0，1，2)，＝(2，2，0)，＝(2，0，2)， ＝(0，0，2)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，0)， 设平面B1EF的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则有可取m＝(2，2，－1)， 同理可得平面A1BD的一个法向量为n1＝(1，－1，－1)， 平面A1AC的一个法向量为n2＝(1，1，0)， 平面A1C1D的一个法向量为n3＝(1，1，－1)，则m·n1＝2－2＋1＝1≠0， 所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误； 因为m与n2不平行， 所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误； 因为m与n3不平行， 所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误， 故选A．] [考题来源]　本考题来源于教材P33练习T3和P43习题1.4T12的综合，高考题和教材习题高度一致，高考题把教材中两个练习题综合起来考查，既考查了平面与平面的垂直，又考查了平面与平面的平行，与教材习题的命题角度一致，难度也基本相当．本题若选择几何法解决，则需利用线面位置关系的判定和性质进行繁杂的论证；选择向量法解决，则只需建立空间直角坐标系，用坐标运算解题即可，体现了向量方法在研究几何问题中的简洁之美． [试题评价]　试题以正方体为载体，考查线面位置关系的证明，题目难度一般，属于对基础知识及基本方法的考查，但需要具备逻辑推理、直观想象、数学运算等基本数学素养．由此可见，平时学习时既要重视基本知识点，又要重视数学思想方法，更需要逐步提升自己的数学素养． 探源2　直线和平面所成的角的问题 [命题点分析]　直线和平面所成的角是高考的重点，主要以空间几何体为载体考查线面关系及直线和平面所成的角．求直线和平面所成的角一般用向量法，主要以解答题的形式呈现，有时也出现在选择题、填空题中，难度中等．考查直观想象、数学运算素养． 【案例2】　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1． (1)证明：A1C＝AC； (2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值． [解]　(1)证明：过A1作A1D⊥CC1，垂足为D， ∵A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴A1C⊥BC， 又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC， ∵A1C，AC 平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C， ∴BC⊥平面ACC1A1， ∵A1D 平面ACC1A1，∴BC⊥A1D， 又CC1，BC 平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C， ∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1． 由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1， ∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1， ∴A1C＝A1C1， 又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝A1C1， ∴A1C＝AC． (2)连接A1B，由(1)易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F， ∵AA1与BB1的距离为2，∴A1F＝2， 又A1D＝1且A1C＝AC， ∴A1C＝A1C1＝AC＝，AB＝A1B1＝，BC＝． 建立空间直角坐标系C-xyz如图所示， 则C(0，0，0)，A，BC1， ∴＝＝＝． 设平面 ... ...