2.4.2 圆的一般方程 [学习目标] 1．理解圆的一般方程及其特点．(数学抽象) 2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化．(数学运算) 3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．(逻辑推理) (教师用书) 在平面直角坐标系中，我们用二元一次方程的一般形式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代表直线，实现了代数与几何的相互融合，那么，我们不禁要问，对于二元二次方程的一般形式Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0(A，B，C不同时为0)，它是否也代表什么曲线类型呢？事实上，圆的方程就是其中一类二元二次方程，仔细想想，它的系数A，B，C有什么要求吗？ [讨论交流] 问题1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ 问题2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中的D，E，F满足什么条件时，这个方程表示圆？ 问题3．待定系数法求圆的方程有哪几个步骤？ 问题4．代入法(相关点法)求轨迹方程有哪几个步骤？ [自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1 圆的一般方程 探究问题 把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得到x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0． 可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． 反之，这个方程表示的图形是否都是圆呢？ [提示] 将x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方得，＋＝，当D2＋E2－4F＞0时表示圆，当D2＋E2－4F＝0时方程表示点，当D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形． [新知生成] 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，此时方程表示以为圆心，为半径的圆． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 【教用·微提醒】 (1)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0． (2)圆的一般方程中有三个系数，这说明确定一个圆需要三个独立条件． [典例讲评] 1．下列方程是否表示圆？若是，写出圆心和半径；若不是，说明理由． (1)2x2＋y2－7y＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－x＝0； (4)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)． [解] (1)2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，故原方程不表示圆． (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy项，故原方程不表示圆． (3)法一：因为D2＋E2－4F＝(－1)2＝1＞0，所以方程表示圆，圆心坐标为，即，半径r＝＝． 法二：方程x2＋y2－x＝0可化为＋y2＝，它表示以为圆心，为半径的圆． (4)因为D＝2a，E＝0，F＝a2，所以D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，所以原方程不表示圆． 圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． [学以致用] 1．已知圆C：x2＋y2＋2x－2my－4－4m＝0(m∈R)，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为( ) A． B．6 C．－1 D．＋1 D [根据题意，圆C：x2＋y2＋2x－2my－4－4m＝0(m∈R)，变形可得(x＋1)2＋(y－m)2＝m2＋4m＋5，其圆心为(－1，m)，半径为r，则r2＝m2＋4m＋5＝(m＋2)2＋1， 当圆C的面积最小时，必有m＝－2，此时r2＝1，圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝1， 圆心C到原点的距离d＝＝，则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d＋r＝＋1，故选D．] 探究2 求圆的一般方程 【链接·教材例题】 例4 求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． [分析] 将点O，M1，M2的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程． [解] 设圆的方程是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． 因为O，M1，M2 ... ...
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