5.4.1　二项式定理的推导 练习（含解析）---2024-2025学年度北师大版（2019）选择性必修第一册

§4　二项式定理 4.1　二项式定理的推导 一、选择题 1.若的展开式有20项,则自然数n的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.9 B.11 C.14 D.15 2.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则S等于 (　 ) A.x3 B.-x3 C.(1-x)3 D.(x-1)3 3.(x-y)5的展开式中x2y3的系数为 (　 ) A.-20 B.20 C.-2 D.2 4.在(2-x)6的展开式中,第3,4,5项之和是 (　 ) A.460 B.140 C.60x4+160x3+240x2 D.60x4-160x3+240x2 5.已知对任意实数x,都有x3=a0+a1·(x-2)+a2·(x-2)2+a3·(x-2)3,则a2= (　 ) A.6 B.9 C.12 D.21 6.在(x2-x-2)5的展开式中,x的系数为 (　 ) A.80 B.240 C.-80 D.160 7.(多选题)对于二项式(n∈N*,n≥2),下列判断正确的有 (　 ) A.存在n∈N*,n≥2,使得展开式中有常数项 B.对任意n∈N*,n≥2,展开式中都没有常数项 C.对任意n∈N*,n≥2,展开式中都没有x的一次项 D.存在n∈N*,n≥2,使得展开式中有x的一次项 8.(多选题)若二项式的展开式中含x的二次项,则k的取值可能为 (　 ) A.6 B.8 C.10 D.14 二、填空题 9.的展开式中的常数项是　　　　. 10.已知的展开式中第5项为常数项,则n=　　　　. 11.已知二项式的展开式中的系数是10,则实数a=　　　　. 12.已知(1-x)5的展开式中含x2项的系数为-19,则实数a的值为　　　　. 三、解答题 13.求(1+x)(2-x)6的展开式中的常数项和含x的项. 14.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,其中n≥2,n∈N*. (1)当n=9时,求a1+a2+…+a9的值; (2)在展开式中,若存在连续三项的系数之比为3∶4∶5,求n的值. 15.(x2+3x+2)5的展开式中x2的系数为 (　 ) A.625 B.800 C.750 D.600 16.在二项式的展开式中,前三项系数的绝对值a,b,c满足a+c=2b. (1)求展开式的第四项; (2)求展开式中各项的系数和. §4　二项式定理 4.1　二项式定理的推导 1.C　[解析] 因为的展开式共有(n+6)项,所以n+6=20,所以n=14,故选C. 2.A　[解析] 因为S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1=(x-1)3·10+(x-1)2·11+(x-1)·12+·13,所以结合二项展开式的形式,可得S=[(x-1)+1]3=x3.故选A. 3.A　[解析] (x-y)5的展开式的通项为Tr+1=(x)5-r·(-y)r=()5-r·(-1)r·x5-ryr,取r=3,得T4=()2×(-1)3·x2y3=-20x2y3.故选A. 4.D　[解析] (2-x)6的展开式的通项为Tr+1=·26-r·(-x)r=·(-1)r·26-r·xr ,∴T3=×(-1)2×24·x2=240x2,T4=×(-1)3×23·x3=-160x3,T5=×(-1)4×22·x4=60x4,∴第3,4,5项之和是60x4-160x3+240x2,故选D. 5.A　[解析] 由二项式定理得x3=[(x-2)+2]3=·(x-2)023+·(x-2)122+·(x-2)221+·(x-2)320,又x3=a0+a1·(x-2)+a2·(x-2)2+a3·(x-2)3,所以a2=×21=3×2=6.故选A. 6.C　[解析] ∵(x2-x-2)5=(x-2)5(x+1)5,∴在(x2-x-2)5的展开式中x的系数为×(-2)4+×(-2)5=-80,故选C. 7.AD　[解析] 二项式(n∈N*)的展开式的通项为Tr+1=(x3)r=x4r-n.令n=4,则当r=1时,展开式中有常数项,故A正确,B错误;令n=3,则当r=1时,展开式中有x的一次项,故C错误,D正确.故选AD. 8.BD　[解析] 二项式的展开式的通项为Tr+1=(-1)rxk-rx-2r=(-1)rxk-3r(k∈N*,r=0,1,2,…,k),则由题意知k-3r=2有解,即r=有解,因为r∈N,所以k=2,5,8,11,14,…,故选BD. 9.24　[解析] 的展开式的通项为Tr+1=(2x)4-r,r=0,1,2,3,4,所以其展开式中的常数项为(2x)2=24. 10.5　[解析] 的展开式的通项为Tr+1=(x2)n-r=(-3)r,由第5项为常数项可知当r=4时,2n-=0,可得n=5. 11.1　[解析] 二项式的展开式的通项为Tr+1=·x5-r·(ax-1)r=ar··x5-2r,令5-2r=-1,解得r=3,所以的系数是a3·=10a3=10,解得a=1. 12.2　[解析] 当第1个因式取x2时,第2个因式展开式中取常数项,其系数为1×,当第1个因式取时,第2个因式展开式中取含x3的项,其系数为a×(-1)3.由题知,1×+a×(-1)3=-19,解得a=2. 13.解:(2-x)6的展开式的通项为Tr+1=·26-r(-x)r, (1+x)(2-x)6 ... ...