2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 一、选择题 1．已知正三棱台的体积为,若,,则该正三棱台的高为( ) A. B. C. D. 2．某三棱锥三视图如图所示,则该三棱锥 的表面积是( ) A. B. C. D. 3．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是( ) A. B. C. D. 4．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为8的半圆,则该圆锥的体积为( ) A. B. C. D. 5．如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么( ) A. B. C. D. 6．已知直四棱柱的底面是边长为2的菱形,且,若M,N分别是侧棱,上的点,且,,则四棱锥的体积为( ) A. B.2 C. D.6 二、多项选择题 7．下列命题中正确的是( ) A.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为 B.圆柱形容器底半径为，两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为 C.正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为 D.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为 8．如图,在棱长为2正方体中,E,F,G,H分别是,,CD,BC的中点,则下列说法正确的有( ) A.E,F,G,H四点共面 B.BD与EF所成角的大小为 C.在线段BD上存在点M,使得平面EFG D.在线段上任取一点N,三棱锥的体积为定值 三、填空题 9．一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其侧面积为_____． 10．《九章算术》中将正四棱台称为方亭,现有一方亭,,体积为13,则该方亭的高是_____. 11．中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时,将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图,图（2）为立体切面图.E对应的是正四棱台中间位置的长方体,B,D,H,F对应四个三棱柱,A,C,I,G对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12,四个四棱锥的体积之和为4,则该正四棱台的体积为_____. 四、解答题 12．正四棱柱中,,E,H分别是棱,的中点,. （1）求正四棱柱的体积; （2）求平面AEH与平面所成锐二面角的余弦值. 13．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上. （1）若P是的中点，证明：； （2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积. 参考答案 1．答案：A 解析：在正三棱台中,上、下底面均为正三角形,设正三棱台的高为h, 则,, 又,解得. 2．答案：B 解析：该几何体是棱长分别为2,2,1的长方体中的三棱锥:, 其中:,,, 该几何体的表面积为:. 故选:B. 3．答案：C 解析：法一：如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底边长为a，高为h， 依题意，得，解得.由题意及图可得，解得，所以正四棱锥的体积，所以，令，得，所以当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又当时，；当时，；当时，；所以该正四棱锥的体积的取值范围是.故选C. 法二：如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底边长为a，高为h， 依题意，得，解得.由题意及图可得，解得，又，所以该正四棱锥的体积 （当且仅当，即时取等号），所以正四棱锥的体积的最大值为，排除A，B，D，故选C. 法三：如图，设该球的半径为R，球心为O，正四棱锥的底边长为a，高为h，正四棱锥的侧棱与高所成的角为， 依题意，得，解得，所以正四棱锥的底边长，高.在中，作，垂足为E，则可得，所以，（另解：也可以利用余弦定理，得）所以正四棱锥的体积，设，易得，则，则，令，得，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.又当时，；当时，；当时，；所以，所以.所以该正四棱锥的体积的取值范围是，故选 ... ...