第2课时 线面角、直线与平面垂直的性质 【学习目标】 1.理解直线和平面所成的角的概念. 2.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面垂直的性质定理,并能够证明. 3.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题. ◆ 知识点一 直线和平面所成的角 1.斜线、 射影的定义 (1)斜线:一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫作这个平面的 ,斜线和平面的交点A叫作斜足,如图. (2)射影:过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫作斜线在这个平面上的 . 这里要注意两点:一是点P具有任意性,可通过取不同的点来说明;二是斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线,而不是线段. 2.直线和平面所成的角 定义:平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角,叫作这条直线和这个平面所成的角.如图所示, 就是斜线l和平面α所成的角. 【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面的一条斜线和平面所成的角的取值范围是[0°,90°]. ( ) (2)平面的一条斜线和平面内一条直线所成的角叫作这条直线和这个平面所成的角. ( ) (3)平面的斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成的角中最小的角. ( ) ◆ 知识点二 直线和平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法 于同一个平面的两条直线 a∥b 线面垂直 线线平行 前面学习了空间中两直线的平行,下面回顾一下证明两直线平行的方法: (1)平面几何知识:在同一平面内没有公共点的两条直线互相平行. (2)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行. (3)线面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行. (4)面面平行的性质定理:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行. (5)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直. ( ) (2)过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直. ( ) (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. ( ) 2.两条异面直线中有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面吗 ◆ 探究点一 求直线与平面所成的角 例1 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等边三角形,且AA1⊥底面ABC,若AB=2,AA1=1,求直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值. 变式 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线AB1与平面ACC1A1所成的角. [素养小结] 求直线与平面所成的角的一般步骤: (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线; (2)垂足和斜足所在直线即为斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角; (3)把该角放在某个三角形中,通过解三角形求出该角. ◆探究点二 线面垂直的性质定理的应用 例2 如图所示,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a β,a⊥AB,则直线a与直线l的位置关系是 . 变式 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AC和A1D上的点,且EF⊥AC,EF⊥A1D.求证:EF∥BD1. 第2课时 线面角、直线与平面垂直的性质 【课前预习】 知识点一 1.(1)斜线 (2)射影 2.射影 ∠PAO(θ) 诊断分析 (1)× (2)× (3)√ [解析] (1)平面的一条斜线和平面所成的角的取值范围是(0°,90°),任意一条直线和平面所成的角的取值范围才是[0°,90°]. (2)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫作这条直线和这个平面所成的角. (3)如图,OB⊥α,斜线AO在平面α上的射影为AB,θ(0°<θ<90°)为斜线与平面α所成的角,θ1(0°<θ1≤90°)为斜线与平面α内除AB外的任意一条直线AC所成的角.作OC⊥AC,垂 ... ...
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