7.3* 复数的三角表示 7.3.1 复数的三角表示式 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 【学习目标】 1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示,了解辐角、辐角的主值的概念. 2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系,会进行复数的代数表示式和三角表示式之间的互化. 3.了解复数三角形式的乘、除运算法则,并能够进行简单运算. 4.了解复数三角表示的几何意义,并能够进行简单应用. ◆ 知识点一 复数的三角表示式 1.定义:如图,一般地,任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式.其中,r是复数z的 ;θ是以x轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线OZ)为终边的角,叫作复数z=a+bi的 .r(cos θ+isin θ)叫作复数z=a+bi的三角表示式,简称 .为了与三角形式区分开来,a+bi叫作复数的代数表示式,简称 . 2.辐角的主值:规定在 范围内的辐角θ的值为辐角的主值,记作 ,即0≤arg z<2π. 3.两个非零复数相等当且仅当它们的模与 分别相等. ◆ 知识点二 复数三角形式的乘、除法运算及 其几何意义 1.复数三角形式的乘法运算与除法运算 若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z2≠0,则 (1)z1z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)= . (2)== . 乘法规则:两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和. 除法规则:两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 2.复数三角表示乘法、除法的几何意义 乘法的几何意义:两个复数z1,z2相乘时,如图所示,画出与z1,z2对应的向量,,然后把向量绕点O按 时针方向旋转角 (如果θ2<0,就要把绕点O按顺时针方向旋转角 ),再把它的模变为原来的 倍,得到向量,表示的复数就是积z1z2. 类比复数乘法的几何意义,复数除法的几何意义如下: 除法的几何意义:两个复数z1,z2(z2≠0)进行除法运算时,如图所示,画出与z1,z2对应的向量,,然后把向量绕点O按 时针方向旋转角 (如果θ2<0,就要把绕点O按逆时针方向旋转角 ),再把它的模变为原来的 ,得到向量,表示的复数就是. 【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2-isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]. ( ) (2)若z1=2,z2=2,则z1z2的辐角的主值是. ( ) (3)若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),z1≠0,则=[cos(θ2-θ1)+isin(θ2-θ1)]. ( ) (4)若z1=2,z2=2,则的辐角的主值是. ( ) ◆ 探究点一 复数三角形式的有关概念 例1 (1)下列复数中是用三角形式表示的是 ( ) A.2(cos α-isin α) B.2(sin α+icos α) C.-2(cos α+isin α) D.2[cos(-α)+isin (-α)] (2)复数z=cos+isin 的辐角的主值是 ( ) A. B. C.- D.- (3)复数z=-sin 100°+icos 100°的辐角的主值是 . [素养小结] 要严格按照复数的三角表示式来判断复数的三角形式和求解复数的辐角的主值.对于不是以复数的三角形式表示的式子,要根据复数三角形式的定义将其转化,再进一步判断. ◆ 探究点二 复数的代数形式与三角形式的互化 例2 画出下列复数所对应的向量,并把这些复数表示成三角形式. (1)1+i;(2)-+i. 例3 分别指出下列复数的模和一个辐角,画出它们对应的向量,并把这些复数表示成代数形式. (1)cos+isin;(2)2. 变式 (1)复数+i的三角形式是 ( ) A.cos+isin B.sin+icos C.cos+isin D.sin+icos (2)复数z=4的代数形式为 ( ) A ... ...
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