4.4* 数学归纳法 [学习目标] 1．借助教材实例了解数学归纳法的原理．(数学抽象) 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(逻辑推理) 3．能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题．(数学运算、逻辑推理) [讨论交流] 问题1．数学归纳法的原理是什么？ 问题2．数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？ [自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1 数学归纳法的理解 探究问题1 如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 探究问题2 在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一位同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？这种现象对你有何启发？ [新知生成] 1．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当_____时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． 2．数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题，可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真．(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 3．数学归纳法的框图表示 [学以致用] 1．(1)用数学归纳法证明“2n＞n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取( ) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n-1＝2n－1(n∈N*)的过程如下： ①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立， 即1＋2＋22＋…＋2k-1＝2k－1， 则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k-1＋2k＝＝2k+1－1，所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立． 上述证明，错误的是_____(填序号)． 探究2 用数学归纳法证明等式 [典例讲评] 1．(源于湘教版教材)用数学归纳法证明： 12＋22＋32＋…＋n2＝(n∈N*)． [尝试解答] 用数学归纳法证明恒等式时应关注的三点 (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况． (2)弄清从n＝k到n＝k＋1，等式两端增加了哪些项，减少了哪些项． (3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形． [学以致用] 2．用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n-1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)． ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
