5.1 导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题 [学习目标] 1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．(数学抽象) 2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(数学运算) 3．理解函数的平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度的概念．(数学抽象) (教师用书) 1．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝＋6.5t＋10．那么如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？ 2．很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现随着气球内空气容量的增加，气球半径增加越来越慢，那么如何描述这种现象呢？ [讨论交流] 问题1．平均速度的定义是什么？ 问题2．瞬时速度的定义是什么？ [自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1 平均速度 探究问题1 某公路上存在一段长为2 km的测速路段，假定测速超过100 km/h即为超速，某汽车用时1.5分钟，它超速了吗？你觉得这种测速的本质是什么？ [提示] 记测速为v，则v＝＝80 km/h，因此它没有超速．这种测速的本质是汽车的平均速度． [新知生成] 1．平均速度：我们把位移s看成关于时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间段[t1，t2]上的平均速度＝． 2．物体在某一时段内的平均速度的大小反映了物体运动的快慢． [典例讲评] 1．已知某质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(路程s的单位为m)，求： (1)该质点在前3 s内运动的平均速度； (2)该质点在2 s到3 s这段时间内运动的平均速度． [解] (1)依题意知Δt＝3，Δs＝s(3)－s(0)＝24， 所以平均速度为＝＝＝8(m/s)． (2)由题意知Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝12， 所以平均速度为＝＝＝12(m/s)． 求物体运动的平均速度的步骤 (1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1)． (2)再计算时间的改变量t2－t1． (3)得平均速度＝． [学以致用] 1．一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系s(t)＝t2＋1，该质点在[2，2＋Δt](Δt＞0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围． [解] 质点在[2，2＋Δt]上的平均速度为 ＝＝＝4＋Δt． 又≤5，即4＋Δt≤5，所以Δt≤1． 又Δt＞0，所以Δt的取值范围为(0，1]． 探究2 瞬时速度 探究问题2 区间[t0，t0＋Δt]表示时刻t0和其后某一时刻t0＋Δt，随着Δt的改变，区间变大或变小，如果Δt变成无限接近0的正数，那么我们该如何认识＝呢？ [提示] 用极限思想可以理解为t0时刻的瞬时速度． [新知生成] 1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 2．瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度． 3．设物体运动的时间与位移的函数关系为s＝s(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为v＝． 【教用·微提醒】 (1)“Δt→0”读作“Δt无限趋近于0”，是指时间间隔越来越短，能越过任意小的时间间隔，即|Δt|要多小就有多小，其含义是可以小于任何预先给定的正数，但Δt始终不能为零． (2)当Δt→0，比值趋近于一个确定的常数时，此常数才称为物体在t＝t0时的瞬时速度． (3)“lim”意为极限，＝l表示当Δt→0时，以常数l为极限． [典例讲评] 2．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． [思路导引] 计算物体在[1，1＋Δt](Δt>0)或[1＋Δt，1](Δt<0)内的平均速度计算得t＝1 s时的瞬时速度． [解] ∵＝＝＝3＋Δt， ∴＝＝3． ∴物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s． [母题探究] 1．在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度． [解] 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度． ∵＝ ＝＝1＋Δt， ∴＝1． 即物体的初速度为1 m/s． 2．在本 ... ...
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