中小学教育资源及组卷应用平台 专题训练12 矩阵及应用 一、单选题 1．定义行列式的运算如下：，已函数以下命题正确的是（ ） ①对，都有；②若，对，总存在非零常数了，使得；③若存在直线与的图象无公共点，且使的图案位于直线两侧，此直线即称为函数的分界线.则的分界线的斜率的取值范围是；④函数的零点有无数个. A．①③④ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】根据行列式的运算定义可得，根据奇函数定义可判断分段函数为奇函数，所以①正确；根据的单调性和奇偶性可知不是周期函数，所以不是周期函数，所以②错误；利用导数求出函数的过原点的切线的斜率，再根据的图像的对称性可得界线斜率的取值范围应为，故③错误；根据在区间上单调递减，时，，且，可知有无数个解，所以函数的零点有无数个，④正确. 【详解】由题知, 当时,,所以 ，同理时亦有，所以①正确； 又时，，，，为奇函数，知的增区间为，，减区间为，，则不存在周期性，故不是周期函数，所以②错误； 当时，过原点作的切线，设切点为，则切线斜率，由此直线过原点得，所以，结合②中在区间上单调递增；在区间上单调递减，且时，，且，可得时，的分界线的斜率的取值范围是，又为奇函数，可得时，的分界线的斜率的取值范围是.所以分界线斜率的取值范围应为，故③错误； 由上可知，在区间上单调递减，时，，且，所以有无数个解，所以函数的零点有无数个，④正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了行列式的运算，考查了奇函数的定义，考查了函数的周期性，考查了导数的几何意义，考查了函数的零点，属于难题. 2．已知向量，是坐标原点，若，且方向是沿的方向绕着点按逆时针方向旋转角得到的，则称经过一次变换得到，现有向量经过一次变换后得到，经过一次变换后得到，…，如此下去，经过一次变换后得到，设，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可得，，，即当时，一次，变换将逆时针旋转1弧度，再将所得向量的长度再伸长为原来的倍得到向量．因此当时，运用矩阵变换公式，算出逆时针旋转1弧度所得向量，从而得到，，，所以．接下来再对、、、各项在时的情况进行计算，对照所得结果可得只有项是正确的选项 【详解】根据题意，， 一次，变换就是将向量逆时针旋转1弧度，再将长度伸长为原来的倍， 即由逆时针旋转1弧度而得，且 设向量逆时针旋转1弧度，所得的向量为，则有， ，即向量逆时针旋转1弧度， 得到向量，再将的模长度伸长为原来的倍， 得到，， 因此当时，，，，即，由此可得 对于，当时，与计算结果不相等，故不正确； 对于，当时，与计算结果相等，故正确； 对于，当时，与计算结果不相等，故不正确； 对于，当时，与计算结果不相等，故不正确 故选：B 【点睛】本题考查了向量的线性运算，用矩阵解决向量的旋转问题和数列的通项公式，属于中档题 3．关于的方程组的系数矩阵记为，且该方程组存在非零解，若存在三阶矩阵，使得，（0表示零矩阵，即所有元素均为0的矩阵；矩阵对应的行列式为），则 （1）一定为1； （2）一定为0； （3）该方程组一定有无穷多解. 其中正确说法的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先根据方程组有非零解可得，由此可得的值及方程组有无穷多组解，故可判断（1）、（3）的正误，用反证法可证，故（2）正确，从而可得正确的选项. 【详解】由题设有，因为方程组存在非零解，故， 而，故 ，故（1）正确. 因，故方程组由三个相同的方程构成即， 它有无数组解，故（3）正确. 若，则有可逆矩阵，从而（0表示零矩阵）即（0表示零矩阵）， 与矛盾，故（2）正确. 故选：D. 【点睛】本题考查三元一次方程组、三阶行列式的计算、矩阵的乘法与逆矩阵，注意三阶行列式的计算可用公式来计算 ... ...
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