同步检测12 基本不等式的应用 (分值：102分) 25 一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共37分) 1．若x>－2，则y＝x＋的最小值为( ) A．－2 B．0 C．1 D． 答案：B 解析：因为x>－2，所以y＝x＋＝x＋2＋－2≥2 －2＝0， 当且仅当x＋2＝，即x＝－1时，等号成立． 2．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司每台机器年平均利润的最大值是( ) A．8万元 B．12万元 C．28万元 D．56万元 答案：A 解析：年平均利润＝－(x＋)＋18≤－2＋18＝8，当且仅当x＝，即x＝5时等号成立． 3．[2024·河北沧州高一月考]已知正数x，y满足3x＋2y＝2，则＋的最小值为( ) A．6 B． C． D． 答案：B 解析：＋＝(＋)(3x＋2y)＝(＋2＋＋)≥×(＋2)＝， 当且仅当即x＝y＝时，等号成立，因此＋的最小值为. 4．[2024·云南昆明高一月考]如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场(阴影部分)，则健身广场的最大面积为( ) A．32.5 m2 B．36 m2 C．37.5 m2 D．40 m2 答案：C 解析：设矩形广场的长为x，宽为y，且00，则＋≥2 C．若x∈R，则x2＋2＋的最小值为2 D．若a>0，b>0，则＋≥2 答案：BD 解析：对于A，当x<0时，可得y<0，所以A错误； 对于B，因为ab>0，则＋≥2＝2，当且仅当＝时，即a＝b时，等号成立，所以B正确； 对于C，由x2＋2＋≥2＝2，当且仅当x2＋2＝时，此时方程无解，即等号不成立，所以C错误； 对于D，因为a>0，b>0，所以＋≥＋≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，所以D正确． 7．(多选)[2024·山东威海高一月考]已知a>0，b>0，a＋b＝1，则( ) A．ab的最大值为 B．＋的最小值为9 C．a2＋b2的最小值为 D．＋的最小值为6 答案：BCD 解析：对于A: 1＝a＋b≥2 ab≤，当且仅当a＝b＝时取得等号，故A错误； 对于B：＋＝(＋)(a＋b)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当 即a＝，b＝时取得等号，故B正确； 对于C：2(a2＋b2)－(a＋b)2＝(a－b)2≥0 a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时取得等号，故C正确； 对于D：＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝6，当且仅当即b＝，a＝时取得等号，故D正确． 二、填空题(每小题5分，共10分) 8．当05，求＋x的最小值； (2)已知x<，求4x＋的最大值． 解析：(1)由x－5>0，则＋x－5＋5≥2 ＋5＝9，当且仅当＝x－5 x＝7时等号成立，故＋x的最小值为9. (2)由5－4x>0，则4x－5＋＋5＝5－≤5－2 ＝3，当且仅当4x－5＝ x＝1时等号成立，故4x＋的最大值为3. 11.(5分)[2024·湖北黄冈高一模拟]已知x<3，则函数y＝的最大值为( ) ... ...
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