同步检测57 三角函数的应用 1．在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：y1＝4sin (100πt)，y2＝4cos (100πt)，则这两个声波合成后即y＝y1＋y2的振幅为( ) A．4 B．8 C．4 D．8 答案：A 解析：∵y＝y1＋y2＝4sin (100πt)＋4cos (100πt)＝4sin (100πt＋)， ∴利用函数的性质可得函数的振幅为4. 2．[2024·江苏连云港高一月考]人的心脏跳动时，血压在增加或减少．若某人的血压满足函数式p(t)＝110＋20sin (140πt)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为( ) A．50 B．70 C．90 D．130 答案：B 解析：由题意得该函数周期T＝，所以此人每分钟心跳的次数为 ＝＝70. 3．某艺术展览馆在开馆时间段(9：00～16：00)的参观人数(单位：千)随时间t(单位：时)的变化近似满足函数关系f(t)＝A sin (t－)＋5(A>0，9≤t≤16)，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为( ) A．1万 B．9千 C．8千 D．7千 答案：B 解析：下午两点整即t＝14，当t＝14时，f(t)＝7， 即A sin ＋5＝7，∴A＝4， ∵当9≤t≤16时，t－∈[，]， ∴当t－＝时，f(t)取得最大值，且最大值为4＋5＝9. 4.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，由于受潮汐的影响，某港口一天中各时刻的水位高低相差很大．如图，已知该港口某天从8时至14时的水深y(单位：m)与时刻x的关系可用函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b近似刻画，其中A>0，ω>0，0<|φ|<.据此可估计该港口当天9时的水深为( ) A．8－ B．8－ C．8－ D．8－ 答案：C 解析：根据图象可得解得A＝3，b＝8，ω＝， 故y＝3sin (x＋φ)＋8， 当x＝14时，y＝3sin (×14＋φ)＋8＝11，故×14＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 进而可得φ＝－＋2kπ，k∈Z，由于0<|φ|<，所以φ＝， 故y＝3sin (x＋)＋8， 当x＝9时，则y＝3sin (×9＋)＋8＝3sin ＋8＝8－. 5．[2024·陕西榆林高一月考]如图，一个大风车的半径是9 m，每16min旋转一周，最低点离地面1.5 m，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是( ) A．h＝－9cos t＋10.5 B．h＝9cos t＋10.5 C．h＝－9sin t＋1.5 D．h＝9sin t＋1.5 答案：A 解析：以最低点的切线作为 x轴，最低点作为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．风车上翼片端点P所在位置可由函数x(t)，y(t)来刻画，而且h(t)＝y(t)＋1.5， 又设P的初始位置在最低点，即y(0)＝0， 在Rt△O1PQ中，cos θ＝，所以y(t)＝－9cos θ＋9， 又＝，∴θ＝t，∴y(t)＝－9cos t＋9， 则h(t)＝－9cos t＋10.5. 6．(多选)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( ) A．该质点的运动周期为0.7 s B．该质点的振幅为5 C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零 D．该质点的运动周期为0.8 s 答案：BCD 解析：由题图可知，质点的振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s，所以A错，D正确； 该质点的振幅为5，所以B正确； 由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C正确．综上，BCD正确． 7．(多选)[2024·福建泉州高一月考]生物研究小组观察发现，某地区一昆虫种群数量y在8月份随时间t(单位：日，t∈N*)的变化近似地满足函数y＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)，且在8月1日达到最低数量700，此后逐日增长并在8月7日达到最高数量900，则( ) A．ω＝ B．A＝450 C．8月17日至23日，该地区此昆虫种群数量逐日减少 D.8月份中，该地区此昆虫种群数量不少于850的天数为13天 答案：AD 解析：不妨设8月1日时为t＝1，设T为最小正 ... ...
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