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课件网) 12.3 角平分线的性质2 文字语言：角平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质 几何语言： ∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB. ∴PD=PE P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 复习回顾 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 探究新知 猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 探究新知 已知，如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 证明：经过点P作射线OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB , ∴∠PDO=∠PEO=90°, 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL) , ∴∠POD=∠POE即点P在∠AOB的平分线上. 探究新知 文字语言：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ※角的平分线的判定 几何语言： ∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE， ∴点P 在∠AOB的平分线上.(或∠1=∠2) 【点睛】应用所具备的条件:(1) 位置关系：点在角的内部;(1)数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上. 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？ 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ，D即为所求. 【点睛】根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点. 知识精讲 例1.已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE. 同理PE=PF. ∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 【归纳】三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 典例解析 例2.如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求证:BP为∠MBN的平分线. 证明:过P作PE⊥AC于E. ∵PA平分∠MAC，且PD⊥BM，PE⊥AC, ∴PD=PE, ∵PC平分∠NCA，且PF⊥BN，PE⊥AC, ∴PF=PE, ∴PD=PF, ∵PD⊥BM,PF⊥BN, ∴P在∠MBN的平分线上, 即BP为∠MBN的平分线. 典例解析 1.如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，当PE=____cm时,点P在∠AOB的平分线上. 2.如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°, 则∠PCA=_____. 针对练习 3.如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处. 4.如图所示，已知△ABC的周长是10，OC、OB分别平分∠ABC和∠ACB，OD上BC于D，且OD=1，则△ABC的面积是_____. 针对练习 5.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置. 解：点P为所求. 针对练习 6.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC． 求证:AD是∠BAC的平分线. 证明:∵DE⊥AB，DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°, 在Rt△BDE和Rt△CDF中, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF (HL), ∴DE=DF, ∴AD是∠BAC的平分线. 针对练习 角的 ... ...
