1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题——高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时优化训练（含解析）

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题———高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时优化训练 1.直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为( ) A. B. C.2 D.3 2.如图，在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，，F是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 3.如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为CD，的中点，则下列结论正确的是( ) ①点F到点E的距离为； ②点F到直线的距离为； ③点F到平面的距离为； ④平面到平面的距离为. A.①②④ B.②③④ C.①④ D.①②③ 5.在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点A到直线的距离为( ) A. B.1 C. D. 6.如图，在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，，F是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 7.（多选）如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是( ) A. B.向量与所成角的余弦值为 C.平面AEF的一个法向量是 D.点D到平面AEF的距离为 8.（多选）如图，在棱长为1的正方体中( ) A.与的夹角为 B.二面角的平面角的正切值为 C.与平面所成角的正切值 D.点D到平面的距离为 9.（多选）在三棱锥中，平面平面，，，为等边三角形，E是棱AC的中点，F是棱AD上一点，若异面直线DE与BF所成角的余弦值为，则AF的值可能为( ) A. B.1 C. D. 10.设直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的正弦值为_____. 11.某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷.将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）.该四棱锥底面ABCD是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为_____. 12.在空间中，已知平面过点和及z轴上一点，如果平面与平面xOy的夹角为，则_____. 13.如图，在四面体中，平面，点M为棱的中点，，，. (1)证明：； (2)求平面和平面夹角的余弦值. 14.如图，在直三棱柱中，D，E分别是，的中点，已知，. （1）证明：平面； （2）求D到平面的距离. 15.已知正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E，F分别为AB，BC的中点. （1）求点D到平面PEF的距离； （2）求直线AC到平面PEF的距离. 答案以及解析 1.答案：C 解析：，， ，又， 在方向上的投影， P到l距离. 故选：C. 2.答案：D 解析：解法一：设E为BC的中点，连接FE，如图， E是BC的中点， ，，，，； 在中，由余弦定理可知. 异面直线BE与AF所成角的余弦值为. 解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示， 易知，，， 所以，， 则， 异面直线BE与AF所成角的余弦值为.故选：D. 3.答案：D 解析：以D为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示， 设，则，，， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 故， 又直线与平面所成角的正弦值为， ，解得.故选：D. 4.答案：D 解析：如图，以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，. 设平面的法向量为， 则取，则，，所以平面的一个法向量为.由，得点F到点E的距离为，故①正确；点F到直线的距离为，故②正确；点F到平面的距离，故③正确；由正方体的性质可知平面平面，所以平面到平面的距离即为点F到平面的距离，为，故④错误.选D. 5.答案：B 解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知，得，，， ，， 所以在上的投影为， 所以点A到直线的距离为，故选：B 6.答案：D 解析：解法一：设E为BC的中点，连接FE，如图， E是BC的 ... ...