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课件网) 诱导公式 一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆. ———毕达哥拉斯 x y O P(x,y) 前面我们学习了三角函数，是借助于单位圆给出的，并根据定义得出了诱导公式一，刻画“周而复始”这种变化规律及其几何意义．之后利用单位圆的几何性质，结合定义，获得了同角三角函数之间的基本关系． 事实上，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，我们可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性． 圆的对称性 问题1： 在直角坐标系中能找到单位圆的哪些特殊对称性呢？如图，在直角坐标系内，若设任意角α的终边与单位圆交于点P1，你能想到单位圆上点P1的哪些特殊对称点？ 可能想到的对称性有： ①点P1关于原点的对称点； ②点P1关于x轴的对称点； ③点P1关于y轴的对称点． 追问 如果允许在坐标系内添加直线，你又能想到哪些？如果允许做两次对称变换，你还能想到哪些？ ④点P1关于直线y＝x的对称点； ⑤点P1关于直线y＝x的对称点，再关于y轴的对称点； ⑥点P1关于x轴的对称点，再关于直线y＝x的对称点； …… 如何将这些对称性代数化呢？ 可能想到的对称性有： ①点P1关于原点的对称点； ②点P1关于x轴的对称点； ③点P1关于y轴的对称点． 问题2： 在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1，作P1关于原点的对称点P2． （1）以OP2为终边的角β与角α有什么关系？ （2）角β，α的三角函数值之间有什么关系？ x y O x y O 关注一下对称点 和 的坐标之间的关系。 x y O x y O 因为P2是点P1关于原点的对称点，所以 x y O 根据三角函数的定义，得 公式二： 追问1 上述推导过程中用到点P1所在位置的条件了吗？如果点P1在第二象限，那么点P2的坐标与点P1的坐标之间有什么关系？如果点P1在y轴负半轴上呢？在其他位置呢？据此，公式二中的角α的大小是多少？ 回顾推导过程，发现不论点P1在哪里，点P2的坐标与点P1的坐标之间的关系都不变. 即对于正弦和余弦的诱导公式， 可以是任意角；对于正切的诱导公式， 的终边不能落在y轴上，即 追问2 探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数学思想是什么？ 第一步，根据圆的对称性，建立角之间的联系； 第三步，等量代换，得到三角函数值的关系. 第二步，形的关系代数化，建立坐标之间的关系； 形 联系性 数 研究诱导公式的一般套路 追问3 角π＋α还可以看作是角α的终边经过怎样的变换得到的？ 结论：角α的终边按逆时针方向旋转角π得到的． 问题3： 请你类比公式二的研究思路，如果作 关于x轴（或y轴）的对称点 （或 ），那么又可以得到什么结论？ 请大家自主探究和推理论证 x y O 以 为终边的角 都是与角 终边相同的角，即： 因此，只要探究角 与角 的三角函数值之间的关系即可. 设 因为 是点 关于x轴的对称点 所以 作点 关于x轴的对称点 x y O 所以 根据三角函数的定义，得 公式三： 作点 关于x轴的对称点 x y O 以 为终边的角 都是与角 终边相同的角，即： 因此，只要探究角 与角 的三角函数值之间的关系即可. 设 因为 是点 关于y轴的对称点 所以 作点 关于y轴的对称点 所以 根据三角函数的定义，得 公式四： x y O 作点 关于y轴的对称点 追问 公式三和公式四中的角α是多大的角？ 类比公式二我们可以知道，发现不论点P1在哪里，点P3（ 或P4 ）的坐标与点P1的坐标之间的关系都不变. 即对于正弦和余弦的诱导公式， 可以是任意角；对于正切的诱导公式， 的终边不能落在y轴上，即 诱导公式一～四 公式三： 公式四： 公式二： 公式一： 诱导公式一～四 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时的原函数值的符号 例1 利用公式求下列三 ... ...
