1.2 空间向量基本定理 练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.2　空间向量基本定理 一、选择题 1.下列说法中正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.任何三个不共线的向量可构成空间的一个基底 B.空间的基底有且仅有一个 C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D.直线的方向向量有且仅有一个 2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知=a,=b,=c,则用向量a,b,c可表示向量为 (　 ) A.a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.-a+b+c 3.[2024·广东湛江二十一中高二期中] 已知{a,b,c}是空间的一个基底,若p=a+b,q=a-b,则 (　 ) A.a,p,q可构成空间的一个基底 B.b,p,q可构成空间的一个基底 C.c,p,q可构成空间的一个基底 D.p,q与a,b,c中的任何一个都不能构成空间的一个基底 4.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,向量a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,若d=xa+yb+zc,则x,y,z的值分别为 (　 ) A.,-1,- B.,1, C.-,1,- D.,1,- 5.已知三棱柱ABC-A1B1C1各条棱的长都相等,且∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 (　 ) A. B. C. D. 6.[2024·河北邢台高二期末] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱BB1和DD1上,且DF=DD1.记=x+y+z,若x+y+z=,则= (　 ) A. B. C. D. 7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱D1D的中点,P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3B1P=PD1,若PQ⊥AE,=λ,则λ的值为 (　 ) A.3 B.4 C.-3 D.-4 8.(多选题)[2024·郑州高二期中] 下列说法中正确的有 (　 ) A.已知a∥b,则a,b与任一向量都不能构成空间的一个基底 B.设A,B,M,N是空间中的四个点,若,,不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N四点共面 C.设O是空间中任一不与P,A,B,C重合的点,若+++=0,则P,A,B,C四点共面 D.已知a,b,c可构成空间的一个基底,若m=a+c,则a,b,m也可构成空间的一个基底 9.(多选题)如图,在三棱锥D-ABC中,,,两两夹角均为,且||=||=||=1,若G,M分别为棱AD,BC的中点,则 (　 ) A.||= B.||= C.异面直线AC与DB所成角的正弦值为 D.异面直线AC与DB所成角的正弦值为 二、填空题 10.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以从向量a,b,c,a+b,a-b,a+c,a-c,b+c,b-c中选出三个向量构成空间的一个基底,请你写出一个不同于{a,b,c}的基底:　　　　　　　. 11.[2024·河南信阳信合外国语高级中学高二期中] 如图,在正四面体P-ABC中,M,N分别为PA,BC的中点,D是线段MN上一点,且ND=2DM,若=x+y+z,则x+y+z的值为　　　　. 12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱A1A和B1B的中点,则异面直线CM和D1N所成角的余弦值为　　　　. 三、解答题 13.如图所示,在三棱柱ABC-A'B'C'中,设=a,=b,=c,M是BC'的中点,N是B'C'的中点,用基底{a,b,c}表示以下各向量: (1);(2). 14.[2024·江西宜春高二期中] 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,CD的中点,且∠B1BC=∠B1BA=,∠CBA=,AB=BC=3,BB1=2. (1)求线段EF的长度; (2)求直线AD 与直线EF夹角的余弦值. 15.[2024·广东揭阳普宁二中高二期中] 如图,在三棱锥O-ABC中,点G为△ABC的重心,点M是线段OG上靠近点G的三等分点,过点M的平面分别交棱OA,OB,OC于点D,E,F,若=k,=m,=n,则++= (　 ) A. B. C. D. 16.如图,在四面体A-BCD中,E,F,G,H,K,M分别为棱AB,BC,CD,DA,BD,AC的中点,且EG=FH=KM,求证:AB⊥CD,AC⊥BD,AD⊥BC. 1.2　空间向量基本定理 1.C　[解析] 对于A,任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底,当三个不共线的向量共面时,不能构成空间的一个基底,故A错误;对于B,任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底,空间的基底不只有一个,故B错误;对于C,两两垂直的三个非零向量不共面,可构成空间的一个基底,故C正确;对于D,直线的方向向量有无数个,它们是共线向量,故D错误.故选C. 2.D　[解析] 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=,所以=++=-++=-a+b+c,故选D. 3.C　[解析] 对于A,因为p=a+b,q=a-b ... ...