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课件网) 选择必修 第三章 圆锥曲线的方程 3.2 双曲线 3.2.2 双曲线的简单几何性质（第1课时） 教学目标 学习目标 数学素养 1.掌握双曲线的简单几何性质． 1.数学抽象素养和直观想象素养. 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程． 2.数学抽象素养和直观想象素养. 3.能利用双曲线的简单性质求标准方程. 3.数学运算素养和逻辑推理素养. 温故知新 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦 点 a，b，c的关系 |MF1|+|MF2|=2a ||MF1|－|MF2||=2a (a>b>0). (a>b>0). . . F(±c，0) F(0，±c) F(0，±c) F(±c，0) a>b>0，a2=b2+c2 c2=a2+b2，c>a>0,c>b>0,但a不一定大于b. 知新引入 类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线,我们发现双曲线上点的横坐标的范围是x≤-a，或x≥a，纵坐标的范围是y∈R(如图）. 下面利用双曲线的方程求出它的范围. 类比椭圆的几何性质,你认为应该研究双曲线 的哪些几何性质 如何研究这些性质 ① 1.范围 由方程①可得 , 于是，双曲线上点的坐标都适合不等式，∈R，即，∈R. ∴，或；∈R. 这说明双曲线位于直线x=-a及其左侧和直线x=a及其右侧的区域. 知新探究 2.对称性 类比研究椭圆(a>b>0)对称性的方法，容易得到，双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.（如图） F1 F2 x O y (x,y) (x,-y) (-x,-y) (-x,y) 双曲线既是轴对称图形， 又是中心对称图形. 知新探究 类比求椭圆顶点的方法，在方程中，令y=0,得,因此双曲线和x轴有两个交点A1(-a,0),A2(a,0).因为x轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点. 令x=0，得y2=-b2，这个方程没有实数解，说明双曲线和y轴没有公共点，但我们也把B1(0,-b),B2(0,b)两点画在y轴上. 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长. 3.顶点 知新探究 利用信息技术画出双曲线和两条 直线（如图）.在双曲线右支 上取一点M,测量点M的横坐标xM以及它到直线 的距离d.沿曲线右中向上拖动点M， 观察xM与d的大小关系，你发现了什么？ 当xM越来越大，d越来越小，但始终不等于0. 即双曲线与直线逐渐接近，但永不相交. 4.渐近线 知新探究 实际上，经过两点A1,A2的平行线,经过两点B1,B2的平行线,四条直线围成一个矩形（如图），矩形的对角线方程为 . 可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永远不相交. 新知探究 一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交. 思考3：双曲线的渐近线方程还有没有其它形式？ x y o a b 思考1:如何记忆双曲线的渐近线方程？ 在双曲线标准方程中，把“1”换成0即可！ 思考2:渐近线对双曲线的开口有什么影响 渐近线与实轴的夹角越大，双曲线的开口也就越大 双曲线的渐近线方程也可以表示为. 新知探究 在双曲线方程中，如果a=b，那么方程变为x2-y2=a2，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a．这时，四条直线=，围成正方形，渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角. 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 新知探究 5.离心率 与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比,叫做双曲线的离心率． 因为c>a>0,所以双曲线的离心率. 椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？ ∵. ∴e越大，也越大，即渐近线的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁窄逐渐变得开阔. 因此，离心率e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开 ... ...
