教学单元 第五章 三角函数 教学内容 5.2.1 三角函数的概念（第1课时） 教学目标 学习目标 1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点) 2．掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点) 核心素养 1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，培养数学抽象的核心素养； 2.会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦、正切，提升数学运算的核心素养； 3.掌握公式并会应用，强化逻辑推理的核心素养。 教学重难点 重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义； 难点：任意角的三角函数概念的建构过程。 学情分析 在初中,学生已学过锐角三角函数,知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。在此基础上,随着角的概念的推广,引入弧度制,相应地将锐角三角函数推广到任意角的三角函数,有了前面的基础，学生学习起来还是比较感兴趣的。 任意角的三角函数是研究一个实数集(角的弧度数构成的集合)到另一个实数集(角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系。认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助,这里体现了数形结合的思想,由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数,再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数,直至得到任意角的三角函数的定义,体现了合情推理的思想方法。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 情境导入 在初中,我们通过直角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切这三个三角函数,如图所示. 【思考1】该定义中的三个三角函数,对于同样大的一个锐角来说,如果三角形的大小发生了改变,其三角函数值是否也改变呢 【思考2】对于一个任意角，如何求得三角函数值？ 【提示】不变. 【提示】我们需将三角函数的定义推广到任意角。 通过复习初中所学锐角的三角函数的定义，用类比的方法、联系的观点引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。 新知讲授 【知识一：三角函数的概念】 【探究1】角的始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点P，当 时，点P的坐标是什么？ 当 时，点P的坐标是什么？当 时，点P的坐标是什么？它们唯一确定吗？ 【探究2】一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？ 三角函数的定义： 任意角的三角函数定义 设角它的终边与单位圆交于点。 那么（1） 是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数（tangent function) 正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.通常将它们记为： 正弦函数y＝sin x，x∈R； 余弦函数y＝cos x，x∈R； 正切函数y＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)． 【提示】当 时，点P的坐标为当 时，点P的坐标为。 当 时，点P的坐标为 点P的坐标唯一确定。 【提示】唯一确定 通过探究，让学能求角的终边与单位圆的交点坐标，进而明白其确定性，提高学生的解决问题、分析问题的能力。 让学生了解三角函数的定义，提高学生分析问题、概括能力。 【知识二：求三角函数值】 例1.求的正弦、余弦和正切值. 解：在直角坐标系中，作易知的终边与单位圆的交点坐标为.所以有： 通过例题让学生学会根据三角函数的定义，求角的三角函数值，提高学生解决问题的能力。 【知识三：有关三角函数的证明】 例2.如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点(不与原点重合)的坐标为 ,点与原点的距离为.求证： 证明：如图，设角的终边与单位圆交于交点分别过点，作轴的垂线，垂足分别为则： ，，，， 于是，，即.因为与同号，所以 即同理可得， 让学生进一步了解三角函数的定义，提高学生分析问题、 ... ...
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