中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教A版高中数学必修第二册 专题强化练2 平面向量的数量积及其应用 1.(2024江苏苏州月考)单位向量a,b,c满足a-2b+2c=0,则cos
=( ) A. B. C. D. 2.(多选题)(2024陕西西安高新第一中学月考)已知平面向量a= (-2,1),b=(2,t),则下列说法错误的是( ) A.若t=6,则向量a与b的夹角为锐角 B.若|a|=|b|,则t=1 C.a方向上的单位向量为 D.若t=3,则向量a在b上的投影向量的模为 3.(2024山东泰安泰山外国语学校期末)围棋棋盘有19×19个交叉点,从上往下、从左往右数,第m行第n列的交叉点记为P(m,n),例如,第3行第2列的交叉点记为P(3,2).在·(1≤m≤19,1≤n≤19,m,n∈N)中,不同值的个数为( ) A.17 B.18 C.19 D.20 4.(2024吉林长春吉大附中实验学校开学考试)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=5,AD=4,DC=1,E是线段AB上一点,且AE=4EB,动点P在以E为圆心,1为半径的圆上,则·的最大值为( ) A.- B.2-6 C.-6 D.- 5.(多选题)(2024福建龙岩月考)如图,在△ABC中,BC=12,D,E是BC的三等分点,则( ) A.=+ B.若AB⊥AC,则·=32 C.若·=9,则·=40 D.若·=4,则+=88 6.(2024江苏南京模拟)在边长为3的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点,DE⊥AB,交AB于点E,DF∥AB,交AC于点F,则|2+|= ;(+)·的最小值为 . 7.(2024辽宁沈阳联考)已知点M为△ABC外接圆圆O上的任意一点,∠ACB=30°,AC=2,BC=,则||= ;(-)·的最大值为 . 8.(2024重庆第十一中学月考)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=4,AD=CD=2,对角线AC,BD交于点O,点M在AB上,且满足OM⊥BD. (1)求·的值; (2)若N为线段AC上任意一点(不含端点),求·的最小值. 答案与分层梯度式解析 专题强化练2 平面向量的数量积及其应用 1.B 2.BC 3.C 4.C 5.ABD 1.B 解法一:由a-2b+2c=0,得a=2b-2c. 因为a,b,c是单位向量,所以设a=(1,0),b=(x1,y1),c=(x2,y2),且+=1,+=1,则(1,0)=(2x1-2x2,2y1-2y2), 解得或y1=y2=±. 不妨取b=,c=, 则b-2c=. 所以a·(b-2c)=1×+0×=,|b-2c|=, 所以cos===.故选B. 解法二:因为a-2b+2c=0,所以a=2b-2c,故a2=4b2+4c2-8b·c. 由a,b,c是单位向量,得a2=b2=c2=1,故b·c=. 所以|b-2c|2=b2-4b·c+4c2=1-+4=,所以|b-2c|=. 因为a·(b-2c)=(2b-2c)·(b-2c)=2b2+4c2-6b·c=6-=, 所以cos==.故选B. 2.BC 对于A,当t=6时,b=(2,6),所以a·b=-2×2+1×6=2>0,且a与b不共线,所以向量a与b的夹角为锐角,故A中说法正确; 对于B,若|a|=|b|,则=,解得t=±1,故B中说法错误; 对于C,因为a=(-2,1),所以|a|==, 所以a方向上的单位向量为=(-2,1)=,故C中说法错误; 对于D,当t=3时,b=(2,3),所以a·b=-2×2+1×3=-1,|b|==, 所以向量a在b上的投影向量的模为=,故D中说法正确. 故选BC. 3.C 将围棋棋盘放在平面直角坐标系中,并使最下面一行在直线y=1上,最左边一列在直线x=1上,如图, 则P(19,1)对应坐标系中的点(1,1)(记为P1),P(1,1)对应坐标系中的点(19,1)(记为P2),点P(m,n)对应坐标系中的点(20-m,n)(记为Pm,n). 所以=,=, 所以·=·=||||cos<,>. ||cos<,>为在上的投影向量的长度,共有19个不同数值, 所以在·(1≤m≤19,1≤n≤19,m,n∈N)中,不同值有19个.故选C. 4.C 过点D作DO⊥AB,垂足为O,以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,连接DE,EP, 则A(-2,0),C(1,2),D(0,2),E(2,0). ·=(+)·=·+·, 易得·=(2,-2)·(3,2)=6-12=-6, ·=||||cos<,>=1×cos<,>=cos<,>(利用数量积的定义计算,避免了设动点P的坐标), 因为cos<,>∈[-1,1],所以·∈[-,],所以·的最大值为-6.故选C. 解题技法 向量数量积的运算一般有两种方法,一种是基底法,选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的 ... ... 
