中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教A版高中数学必修第二册 专题强化练3 余弦定理、正弦定理的综合应用 1.(2023浙江宁波期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=,b=2,b2+c2-a2=bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E,则AE=( ) A. B. C.2 D.3 2.(2024山东烟台期中)某数学兴趣小组欲测量学校旗杆顶部M和教学楼顶部N之间的距离,已知旗杆AM高15 m,教学楼BN高21 m,在与A,B同一水平面C处测得旗杆顶部M的仰角为30°,教学楼顶部N的仰角为60°,∠ACB=120°,则M,N之间的距离为( ) A. m B. m C.3 m D. m 3.(多选题)(2024湖南九校联盟联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=b(2cos A+1),则下列结论正确的有( ) A.A=2B B.若a=b,则△ABC为直角三角形 C.若△ABC为锐角三角形,则-的最小值为1 D.若△ABC为锐角三角形,则的取值范围为 4.(多选题)(2024江苏南京师大附中期中)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列条件能推出A=的是( ) A.acos C=b+ B.bsin =asin B C.||=||=1,且= D.设向量m=-2,n=+,m在n上的投影向量为- 5.(2024广西南宁模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且∠BAC=,AD平分∠BAC交BC于D,AD=1,则△ABC的面积的最小值为 ;若a=2,则△ABC的面积为 . 6.(2024黑龙江哈尔滨模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=4,=cos A+. (1)求角B的大小; (2)已知射线BD为∠ABC的平分线,且与AC交于点D,若BD=,求△ABC的周长. 答案与分层梯度式解析 专题强化练3 余弦定理、正弦定理的综合应用 1.A 2.D 3.ABD 4.BC 1.A ∵b2+c2-a2=bc,∴cos∠BAC==, 又∵∠BAC∈(0,π),∴∠BAC=, 又B=,∴C=, 由正弦定理得=,∴c===2. ∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠BAC=, ∴∠AEB=π--=,∵=, ∴AE===. 2.D 过点M作MD⊥BN于点D,则MD=AB, 在Rt△ACM中,AM=15,∠ACM=30°, ∴AC=AM=15, 在Rt△BCN中,BN=21,∠BCN=60°, ∴BC==7, 在△ACB中,∠ACB=120°,由余弦定理得 AB= = =, ∴DM=AB=,易知BD=AM=15,DN=BN-BD=6, 在Rt△DMN中,∠MDN=90°,由勾股定理得MN===, 故M,N之间的距离为 m,故选D. 3.ABD 对于A,由c=b(2cos A+1)及正弦定理得 sin C=2sin Bcos A+sin B, 由sin C=sin(A+B),得sin Acos B-cos Asin B=sin B, 即sin(A-B)=sin B, 由0
0,又0×2=1,C错误; 对于D,在锐角△ABC中,由0,所以cos =2sin cos ,又∈,所以sin =,所以=,故A=,故B符合题意; 对于C,由=,得|-|=|+|,两边平方得3(-2·+)=+2·+,即8·=4,所以·=, 所以cos A==, 又A∈(0,π),所以A=,故C符合题意; 对于D,因为m在n上的投影向量为·=-,所以=-,又m=-2,n=+,所以=-,化简得=,无法推出A=,故D不符合题意.故选BC. 5.答案 ; 解析 由题意得S△ABC=S△ABD+S△ACD, 即bcsin =c·ADsin +b·ADsin , 整理得bc=b+c,所以bc=b+c≥2,所以bc≥4,当且仅当b=c时,等号成立,所以(S△ABC)min=×4×=. 因为a2=b2+c2-2bccos∠BAC,所以20=b2+c2+bc=(b+c)2-bc,又因为b+c=bc,所以(bc)2-bc-20=0,即(bc-5)(bc+4)=0,又因为bc>0,所以bc=5, 因此S△ABC=bcsin∠BAC=×5×=. 6.解析 (1)由已知得2bcos B=ccos A+, 根据正弦定理得2sin Bcos B=sin Ccos A+, 即2sin ... ... 
