2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--专题强化练4　三角形的奔驰定理和四心问题

中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教A版高中数学必修第二册 专题强化练4　三角形的奔驰定理和四心问题 1.(2024河南焦作模拟)已知△ABC内一点D满足++=0,则△ABC的面积是△ABD面积的(　　) A.5倍　　B.4倍　　C.3倍　　D.2倍 2.(2023浙江金华段考)如图,已知O是△ABC的垂心,且+2+3=0,则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=(　　) A.1∶2∶3　　B.1∶2∶4 C.2∶3∶4　　D.2∶3∶6 3.(多选题)(2024重庆育才中学月考)已知点O为△ABC内一点,且2+3+4=0,则下列选项正确的是(　　) A.=+ B.直线AO过BC边的中点 C.S△AOB∶S△BOC=2∶1 D.若||=||=||=1,则·=- 4.(多选题)(2024广东深圳外国语学校期中)点O在△ABC内,以下说法正确的有(　　) A.若++=0,则点O为△ABC的重心 B.若||=||=||,则点O为△ABC的外心 C.若(+)·=(+)·=(+)·=0,则点O为△ABC的内心 D.若·=·=·,则点O为△ABC的垂心 5.(多选题)(2024陕西咸阳实验中学月考)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志得来,是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联,它的具体内容是:已知M是△ABC内一点,△BMC,△AMC,△AMB的面积分别为SA,SB,SC,且SA·+SB·+SC·=0,则以下命题正确的有(　　) A.若3+4+5=0,则SA∶SB∶SC=5∶4∶3 B.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1,则M为△ABC的重心 C.若M为△ABC的内心,则BC·+AC·+AB·=0 D.若∠BAC=45°,∠ABC=60°,M为△ABC的外心,则SA∶SB∶SC=2∶∶1 6.(2024江苏苏州盛泽中学月考)点P是△ABC内一点,若=+,则△ABP与△ACP的面积之比是　　　　. 7.设G为△ABC的重心,且sin A·+sin B·+sin C·=0,则B=　　　　. 8.(2024江西宜春清江中学期中)在△ABC中,E,F分别为AB,AC上靠近B,C的五等分点,P为EF上的任一点,实数x,y满足+x+y=0,设△ABC,△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为S,S1,S2,S3,记=λi(i=1,2,3),则λ2·λ3取得最大值时,x,y的值分别为　　　　. 答案与分层梯度式解析 专题强化练4　三角形的奔驰定理和四心问题 1.A 2.A 3.ACD 4.ABD 5.BCD 1.A　由++=0,结合奔驰定理可得S△ABD=S△ABC=S△ABC, 所以△ABC的面积是△ABD面积的5倍.故选A. 一题多解　设AB的中点为M,因为++=0, 所以=2(+),所以=4, 所以点D是线段CM的五等分点(靠近点M),所以==5,所以△ABC的面积是△ABD面积的5倍. 2.A　延长CO,BO,AO,分别交边AB,AC,BC于点P,M,N,如图, 因为O是△ABC的垂心,所以CP⊥AB,BM⊥AC,AN⊥BC,∠BOP=∠BAC,∠AOP=∠ABC,∠AOM=∠ACB, 因此,===, 同理可得,=, 所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=S△BOC∶S△AOC∶S△AOB, 由+2+3=0及奔驰定理可得S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶3, 所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=1∶2∶3.故选A. 一题多解　若O为锐角△ABC的垂心,则tan A·+tan B ·+tan C·=0,再结合题目已知条件+2+3=0,可推出tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=1∶2∶3. 3.ACD　对于A,∵2+3+4=0, ∴2=3+3+4+4, ∴=+,故A正确; 对于B,若直线AO过BC边的中点D,则=λ=λ×(+)(λ∈R),与A矛盾,故B错误; 对于C,由奔驰定理得S△BOC×+S△AOC×+S△AOB×=0,∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=2∶3∶4,∴S△AOB∶S△BOC=2∶1,故C正确; 对于D,∵2+3+4=0,∴2+3=-4, ∴4||2+12·+9||2=16||2,∴·=,故·=·(-)=-+·=-+×=-,故D正确.故选ACD. 4.ABD　设BC,AC,AB的中点分别为D,E,F,连接OD,OE,OF. 对于A,+=2,则+2=0,所以=-2,所以A,O,D三点共线,即点O在中线AD上,同理可得点O在中线BE,CF上,所以点O是△ABC的重心,故A正确; 对于B,若||=||=||,则点O为△ABC的外心,故B正确; 对于C,(+)·=0,则2·=0,所以直线OF为线段AB的垂直平分线,同理可得直线OE,OD分别为线段AC,BC的垂直平分线,所以O为△ABC三边垂直平分线的交点,所以点O为△ABC的外心,故C错误; 对于D,由已知可得·-·=·(-) ... ...