2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--专题强化练8　空间中的垂直关系

中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教A版高中数学必修第二册 专题强化练8　空间中的垂直关系 1.设m,n,l是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确的是(　　) A.若α⊥β,l α,m β,则l⊥m B.若α∥β,l α,m β,则l∥m C.若l⊥α,l∥β,则α⊥β D.若l α,l⊥m,l⊥n,m∥β,n∥β,则α⊥β 2.(多选题)(2024吉林长春吉大附中实验学校月考)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,P在底面上的射影E在线段BD上,则(　　) A.PA=PC　　B.PB=PD C.AC⊥平面PBD　　D.BD⊥平面PAC 3.(2023福建厦门集美中学月考)如图,在平面四边形ABCD中,AD⊥CD,AC⊥BC,∠DAC=∠BAC=30°,现将△ACD沿AC折起,并连接BD,使得平面ACD⊥平面ABC,若所得三棱锥D-ABC的外接球的表面积为4π,则三棱锥D-ABC的体积为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.(多选题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,点C是圆上异于A,B的任一点,则下列结论中正确的是(　　) A.PC⊥BC　　 B.AC⊥平面PCB C.平面PAB⊥平面PBC　　 D.平面PAC⊥平面PBC 5.(2024北京第四中学月考)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点F是棱CC1的中点,P是正方体表面上的一点,若D1P⊥AF,则线段D1P长度的最大值是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 6.(2024湖南岳阳模拟)如图所示,直角三角形ABC所在平面垂直于平面α,直角边AC在平面α内,直角边BC的长为,∠BAC=,若平面α上存在点P,使得△ABP的面积为,则线段CP长度的最小值为　　　　. 7.(2024山东新泰第一中学月考)在三棱锥A-BCD中,△ABC是等边三角形,BD⊥CD,平面ABC⊥平面BCD,若该三棱锥的外接球的表面积为16π,则AD=　　　　. 8.(2024湖南长沙雅礼中学期中)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,SA=AB,点M是SD的中点,AN⊥SC于点N. (1)求证:平面SAC⊥平面AMN; (2)求二面角D-AC-M的正切值. 9.(2023陕西西安月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,PA⊥底面ABCD. (1)当a为何值时,BD⊥平面PAC 证明你的结论; (2)若在棱BC上至少存在一点M,使PM⊥DM,求a的取值范围. 答案与分层梯度式解析 专题强化练8　空间中的垂直关系 1.C 2.AC 3.C 4.AD 5.C 1.C　对于A,若α⊥β,l α,m β,则l与m可能平行、相交或异面,A不正确; 对于B,若α∥β,l α,m β,则l与m平行或异面,B不正确; 对于C,如图,过l作平面γ,γ∩β=l',∵l∥β,l γ,γ∩β=l',∴l∥l',∵l⊥α,∴l'⊥α,又l' β,∴α⊥β,C正确; 对于D,当l α,l⊥m,l⊥n,m∥β,n∥β时,α与β还可能平行或斜交,D不正确.故选C. 2.AC　对于A,由题意得PE⊥平面ABCD, 连接AC,交BD于点H,若E与H不重合,则AH=CH,EH⊥AC,所以AE=EC, 当E与H重合时,显然AE=EC,又PA=,PC=,所以PA=PC,A正确; 对于B,PD=,PB=,由于ED与EB不一定相等,所以PB,PD不一定相等,B错误; 对于C,因为PE⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以PE⊥AC,又因为AC⊥BD,PE∩BD=E,PE,BD 平面PBD,所以AC⊥平面PBD,C正确; 对于D,连接PH,若E,H不重合,则PH与EH不垂直,故BD与PH不垂直,则BD与平面PAC不垂直,D错误. 故选AC. 3.C　∵平面ACD⊥平面ABC,平面ABC∩平面ACD=AC,AC⊥BC,BC 平面ABC,∴BC⊥平面ACD. ∵AD 平面ACD,∴AD⊥BC, 又∵AD⊥DC,BC∩DC=C,BC,DC 平面BCD, ∴AD⊥平面BCD. ∵BD 平面BCD,∴AD⊥BD,即∠ADB为直角. 取AB的中点O,连接OC,OD,如图, ∵∠ADB=∠ACB=90°,∴OA=OB=OC=OD, 故O为三棱锥D-ABC外接球的球心, 由三棱锥D-ABC外接球的表面积为4π,可得外接球的半径为1,即OA=OB=1,∴AB=2, 又∠BAC=∠DAC=30°, ∴BC=1,AC=,CD=,AD=. ∵BC⊥平面ACD,∠ADC为直角, ∴VD-ABC=VB-ACD=BC·S△ACD=×1×××=. 故选C. 4.AD　∵AB是圆的直径,C在圆上,∴AC⊥BC, ∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,∴PA⊥BC, 又PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,∴BC⊥平面PAC, 又PC 平面P ... ...