2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--专题强化练9　空间角和距离

中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教A版高中数学必修第二册 专题强化练9　空间角和距离 1.(2024福建师大附中期末)在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=6, AD=BC=4,M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成角的余弦值为(　　) A.　　B.　　C.-　　D. 2.(多选题)(2024河南洛阳一高月考)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,则(　　) A.正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为 B.正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为12+2 C.直线AC1与平面ABC所成的角为45° D.直线AA1到平面BCC1B1的距离为 3.(多选题)(2024四川达州外国语学校月考)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,M,N分别为线段A1B,B1C上的动点(不包括端点),且A1M=CN,则以下结论正确的有(　　) A.MN∥平面A1ACC1 B.不存在点M,N,使得MN⊥平面BB1D1D C.点M和点N到平面BB1D1D的距离相等 D.直线MN与平面A1ADD1所成角的最大值为 4.(多选题)(2024湖北武汉新洲期末)如图,已知二面角α-l-β的棱l上有A,B两点,C∈α,AC⊥l,D∈β,BD⊥l,且AC=AB=BD,则(　　) A.当α⊥β时,直线CD与平面β所成角的正弦值为 B.当二面角α-l-β的大小为60°时,直线AB与CD所成的角为45° C.若CD=2AB=2,则三棱锥A-BCD的外接球的体积为 D.若CD=2AB,则二面角C-BD-A的余弦值为 5.(2024福建福州期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,动点P在棱B1C1上,则点P到平面A1BC的距离为　　　　. 6.(2024江苏无锡第一中学期中)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱长为2,底面边长为1,点P是底面A1B1C1D1(含边界)上一个动点,直线AP与平面ABCD所成角的正切值为2,则PC1的长度的取值范围为　　　　;当PC1最短时,四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为　　　　. 7.(2024浙江杭州第二中学期中)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,PB=PD. (1)证明:平面PBD⊥平面PAC; (2)若PA=1,PA与平面ABCD所成的角为,求二面角P-BC-A的正弦值. 答案与分层梯度式解析 专题强化练9　空间角和距离 1.D 2.CD 3.ACD 4.ABD 1.D　如图,连接DN,取DN的中点P,连接PM,PC, 则PM∥AN,所以∠PMC(或其补角)为异面直线AN,CM所成的角, 易得CM=DN=AN==4,PN=PM=AN=2,PC= =2, 所以cos∠PMC===,即异面直线AN,CM所成角的余弦值为.故选D. 2.CD　正三棱柱的体积为2××22=2,A错误; 正三棱柱的侧面积为3×2×2=12,B错误; 因为CC1⊥平面ABC,所以AC1与平面ABC所成的角即为∠C1AC=45°,C正确; 如图,过A作AD⊥BC于D, 因为BB1⊥平面ABC,AD 平面ABC,所以BB1⊥AD,因为AD⊥BC,BC∩BB1=B,所以AD⊥平面BCC1B1,又AA1∥平面BCC1B1,所以AD的长为AA1与平面BCC1B1之间的距离,易得AD=,D正确. 故选CD. 3.ACD　连接BN并延长,与CC1交于E,连接A1E,AC,A1C1,如图1. 因为BB1∥CE,所以△BB1N∽△ECN,又A1M=CN,A1B=CB1,所以==,所以MN∥A1E, 因为MN 平面A1ACC1,A1E 平面A1ACC1,所以MN∥平面A1ACC1,A正确; 　　 当E与C1重合,即M,N分别为线段A1B,B1C的中点时,如图2,连接BD,B1D1, 由四边形A1B1C1D1为正方形可得A1C1⊥B1D1,又BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1 平面A1B1C1D1,所以BB1⊥A1C1,又BB1∩B1D1=B1,BB1,B1D1 平面BB1D1D,所以A1C1⊥平面BB1D1D,又MN∥A1C1,所以MN⊥平面BB1D1D,B错误; 易知BM=B1N,直线A1B和B1C与平面BB1D1D所成的角相等,所以点M,N到平面BB1D1D的距离相等,C正确; 直线MN与平面A1ADD1所成的角即直线A1E与平面A1ADD1所成的角,设为θ,则sin θ=(1为E到平面A1ADD1的距离),当A1E最小时,θ最大,显然(A1E)min=A1C1=,此时sin θ=,故θ的最大值为,D正确. 故选ACD. 4.ABD　对于A,当α⊥β时,因为α∩β=l,AC⊥l,AC 平面α,所以AC⊥β,所以直线CD与平面β所成的角为∠CDA,AC⊥AD, 因为BD⊥l,AC=AB=BD,所以AD=AB=AC, 所以sin∠CDA===,故A正确. 过A作AE∥BD,且AE=BD,连接ED,EC,则四边形ABDE为正方形,所以AB∥DE,所以∠CDE( ... ...