中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教A版高中数学必修第二册 6.2.4 向量的数量积 基础过关练 题组一 向量的数量积 1.给出下列五个命题: ①|a|2=a2; ②=; ③(a·b)2=a2·b2; ④(a-b)2=a2-2a·b+b2; ⑤若a·b=0,则a=0或b=0. 其中正确命题的序号是( ) A.①②③ B.①④ C.②④ D.②⑤ 2.(2024四川绵阳阶段检测)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=5,且a与b夹角的余弦值为,则(a+2b)·(2a-b)=( ) A.36 B.-36 C.32 D.-32 3.(2024陕西咸阳模拟)已知在边长为1的菱形ABCD中,点E为线段CD的中点,则·=( ) A. B. C.- D.- 题组二 向量的投影向量 4.(2024湖北宜昌、荆州、荆门、恩施四地联考)若向量a,b满足|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61,则a在b上的投影向量为( ) A.-b B.-b C.b D.-b 5.(教材习题改编)已知O是△ABC的外心,且满足2=+,||=3||,则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 6.(2024江苏盐城五校联考)已知b为一个单位向量,a与b的夹角是120°,若a在b上的投影向量为-2b,则|a|= . 7.下图是由四个边长为1的正方形拼成的一个大正方形,AB是大正方形的一条边,Pi(i=1,2,…,7)是小正方形的各个顶点,则·(i=1,2,…,7)的不同值的个数为 . 题组三 向量的模和夹角 8.(教材习题改编)已知向量a,b满足|2a+b|=2,|a|=1,|b|=2,则向量a与b的夹角为( ) A. B. C. D. 9.(多选题)(2024江苏无锡辅仁高级中学开学考试)已知e1,e2是夹角为的单位向量,且a=e1-2e2,b=e1+e2,则( ) A.|a|= B.a·b=- C.a与b的夹角为 D.a在b上的投影向量为-b 10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,E为边CD的中点,=,若·=-3,则cos∠DAB= . 11.(2024福建长汀第二中学月考)已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,(a+2b)·(2a-b)=-3. (1)求|a-b|; (2)若向量b与λa+b的夹角为锐角,求实数λ的取值范围. 题组四 向量的垂直 12.(2024湖南长沙雅礼中学模拟)已知向量a=,b=(log38,m),若a⊥b,则实数m=( ) A.-2 B.- C.2 D.3 13.(教材习题改编)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120°,若(ka-2b)⊥(a+b),则实数k=( ) A. B. C.1 D.2 14.(2024上海实验中学月考)已知非零向量a,b满足|b|2=3|a|2,且a⊥(3a+2b),则向量a与b的夹角为 . 15.已知向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是 . 16.(2024江苏无锡联考)已知O为坐标原点,e1,e2是两个夹角为60°的单位向量,=2e1+e2,=-3e1+2e2. (1)求||; (2)求与的夹角; (3)设=te1,若△ABC是以AC为斜边的直角三角形,求实数t的值. 能力提升练 题组一 向量的数量积运算 1.(多选题)设向量a在向量b上的投影向量为m,则下列等式一定成立的是( ) A.m=·b B.m=·b C.m·b=a·b D.m·a=b·a 2.(2024黑龙江齐齐哈尔模拟)C60是一种由60个碳原子构成的分子,形似足球,又名足球烯,其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成.如图,将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平,若正多边形的边长为1,A,B,C为正多边形的顶点,则·=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2024江苏南京第一中学月考)骑自行车是一种环保又健康的运动方式,下图是某自行车的平面结构示意图,已知圆A(前轮),圆D(后轮)的半径均为,△ABE,△BEC,△ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点,则在骑该自行车的过程中,·的最大值为( ) A.50 B.48 C.60 D.72 4.(2024河北石家庄二中一调)如图,在△ABC中,AB=2,AC=1, ∠BAC=,O是△ABC的外心,若=x+y,则x= . 题组二 向量的夹角和模 5.(2024广东深圳外国语学校模拟)已知a,b,c均为单位向量,且满足3a+4b+5c=0,则cos
=( ) A. B. C. D. 6.(2024北京延 ... ... 
