中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教A版高中数学必修第二册 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 基础过关练 题组一 向量数量积的坐标运算 1.向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.(2024河南周口月考)在平行四边形ABCD中,=(1,0),=(2,1),则·=( ) A.4 B.-4 C.1 D.-1 3.(2024安徽县中联盟联考)在矩形ABCD中,AB=,BC=2,E为BC的中点,点F在边CD上,若·=1,则·=( ) A. B.1 C.2 D. 题组二 向量模的坐标表示 4.(2024重庆西南大学附属中学模拟)已知点A(2,6),B(-2,-3), C(0,1),D,则与向量+2同向的单位向量为( ) A. B. C. D. 5.(2024湖南邵东第三中学月考)已知向量a=(2,1),b=(λ,3),若向量b在向量a上的投影向量c=(10,5),则|b-2a|=( ) A.7 B.3 C.4 D.5 6.(教材习题改编)已知a=(x-1,2),b=(x,1),且a∥b,则|a+b|= . 7.(2024福建三明四校联考)已知向量a=(m,3),b=(1,m),若a与b方向相反,则|a-b|= . 题组三 向量夹角的坐标表示 8.(2024重庆育才中学月考)已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a与b的夹角为( ) A. B. C. D. 9.(2024江苏无锡辅仁高级中学月考)如图,正方形ABCD的边长为6,E是AB的中点,F是BC边上靠近点B的三等分点,AF与DE交于点M,则cos∠EMF= . 10.(2024山东滨州北镇中学月考)在平面直角坐标系中,向量a=(1,-2),b=(-2,6),若a与a+λb的夹角为锐角,则实数λ的取值范围为 . 题组四 向量垂直的坐标表示 11.(2024福建厦门第一中学月考)已知A,B,C是平面直角坐标系内的三点,若=(2,1),=(3,-6),则△ABC的面积为( ) A.15 B.12 C. D.6 12.(2024北京通州期中)在矩形ABCD中,AB=4,AD=1,点P在线段CD上,且满足AP⊥BP,则满足条件的点P有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 13.(多选题)(2024江苏常州联盟学校调研)已知a=(t,1),b=(2,t),t∈R,则下列说法正确的是 ( ) A.|a|的最小值为1 B.若a⊥b,则t=0 C.若t=1,则与a垂直的单位向量为 D.若a与b的夹角为钝角,则t的取值范围为(-∞,0) 14.(2024云南昆明部分学校模拟)已知向量a=(3,5),b=(-1,1),若(a+λb)⊥b,则λ= . 能力提升练 题组一 向量的模、夹角与向量垂直的坐标表示 1.已知向量a=(1,1),b=(1,m),其中m为实数,当两向量的夹角在内变动时,m的取值范围是( ) A.(0,1) B. C.∪(1,) D.(1,) 2.(多选题)(2024辽宁七校协作体期中)已知向量a=(1,2),b=(-3,4), c=a+λb,λ∈R,则下列说法正确的是( ) A.当λ=-时,|c|最小 B.当|c|最小时,b⊥c C.当λ=1时,a与c的夹角最小 D.当a与c的夹角最小时,a=c 3.(2024福建莆田第二十五中学月考)定义:a,b两个向量的叉乘a×b的模为|a×b|=|a||b|·sin
,表示向量a与b的夹角.若点A(1,0),B(1,-),O为坐标原点,则|×|= . 4.(2024湖南师范大学附属中学月考)在△OAB中,·=0,||=2,||=4,E点满足=t(t∈R),D为OB的中点. (1)当t=时,求直线AD与OE相交所成的较小的角的余弦值; (2)求|-|的最小值及相应的t的值. 题组二 向量数量积的坐标表示的综合应用 5.(2024广东第一次调研)已知⊥,||=t(t>0),||=.若点P是△ABC所在平面内一点,且=+,则·的最大值为( ) A.13 B.5-2 C.5-2 D.10+2 6.(多选题)(2024黑龙江哈尔滨实验中学开学考试)图1为折扇,其平面图为图2中的扇形COD,其中∠COD=,OC=3OA=3,动点P在上(含端点)运动,连接OP交扇形OAB的弧AB于点Q,且=x+y,则下列说法中正确的是( ) A.若y=x,则x+y= B.若y=2x,则·=0 C.·≥-2 D.·∈ 7.(2024天津河东第四十五中学月考)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,DE=2EC,M为BC的中点,则·= ;若点P在线段BD上运动,则·的最小值为 . 8.(2024天津第五中学月考) ... ... 
