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课件网) 第 3 章 3.3 幂函数 人教A版2019必修第一册 幂函数 学习目标 1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质． 2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性比较幂值的大小． 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题. 目录 CATALOG 01.幂函数的概念 03.题型强化训练 02.幂函数的图象与性质 04.小结及随堂练习 01 幂函数的概念 3.3 幂函数 函数的性质 前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图像的观察，研究了函数的一些性质（单调性，奇偶性）． 设函数f(x)的定义域为I，区间D I， x1， x2∈D，且x1
f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上单调递减． 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I， 且f(－x)=f(x)（f(－x)=－f(x)），那么函数f(x)就叫做偶函数(奇函数) 本节我们利用这些知识研究一类新的函数． 导入新知 学习新知 (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付 的钱数P=t元，这里P是t的函数； (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数； (3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数； (4)如果正方形广场的面积为S，那么广场的边长 ，这里c是S的函数； (5)如果某人t秒内汽车前进了1km，那么他的平均速度 km/s，这里 V是t的函数； 先看几个实例： 学习新知 上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数． （1）都具有幂的形式； （2）均是以幂的底为自变量； （3）幂的指数都是常数； （4）自变量前的系数为1． 观察（1）~（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？ 幂函数的概念 学习新知 函数 图像 R R 在R 上单调递增 奇函数 R [0，+∞） 在(-∞,0]上单调递减，在[0,+∞）单调递增 偶函数 R R 在R 上单调递增 奇函数 定义域 值域 单调性 奇偶性 定点 [0，+∞） [0，+∞） 在[0，+∞）上单调递增 非奇非偶函数 (-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递减 奇函数 （1，1） 幂函数的图像特征及性质 学习新知 幂函数的图像特征及性质 （1）图像都过点（1，1)； （2）图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限； 奇函数的图像在第一和第三象限； 偶函数的图像在第一和第二象限； 非奇非偶函数的图像在第一象限； 注：α>0时函数图像经过原点，α≤0时函数图像不经过原点． （3）当α<0时，函数在(0，+∞)单调递减； 当α>0时，函数在(0，+∞)单调递增． （4）函数的图像在第一象限以(1，1）为支点，成跷跷板，左高右低，左低右高； （5）当x>1时，函数图像从上往下，α逐渐减小． 总结新知 [拓展] 幂函数的图象与性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)． (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)如果α＜0，那么幂函数在原点处无意义，其图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右侧趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴． (4)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 总结新知 2.常见幂函数的图象和性质 幂函数 定义域 R R {x|x≠0} 值域 R [0,+∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 R上递增 (-∞,0]递减 (0,+∞)递增 (-∞,0)和(0,+∞)递减 图象 公共点 ——— [0,+∞) ... ... 
